Stetigkeit von zwei Funktionen zeigen (mit Infimum einer Funktion) - Analysis I

Question

Hallo

habe folgende Aufgabe:

Gegeben sind f: [a,b]→ℝ (f ist stetig) und g: [a,b]→ℝ wird durch g(x) := inf {f(y)| a≤y≤x} definiert.

Zu zeigen ist, dass g auf [a,b] stetig ist.

Mir sind die Kriterien für Stetigkeit zwar bekannt, dennoch weiß ich nicht, wie ich die Stetigkeit auf dieses Intervall zeigen soll

Comments

Hast eine Ahnung,was mit a<=y<=x gemeint ist?
Das ist ja nicht wirklich eine Funktion oder?

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Das ist ja auch keine Funktion, das soll ja die "Einschränkung" für f(y) sein, soweit ich das verstanden habe

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Oh ich habe min und nicht inf gelesen ,tut mir leid :D

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Hier macht es allerdings gar keinen Unterschied, ob man min oder inf schreibt.

Answer 1

Also dann würde ich sagen,f(x) ist im Bereich [a,b] stetig.
Das Infimum ist die kleinste obere Schranke. Da dein x ∈ [a,b] ist und eben Maximal b. Folgt,dass y beschränkt ist,da a<= y<= b . Du erhältst also die Funktion g(x) (also f(y) ) liegt also auf jeden Fall im Intervall [f(a),f(b)] . Da f(x) stetig ist in dem Intervall, konvergiert jedes x aus [a,b] gegen ein f(x).
Hierraus kann man denk ich schließen,dass g(x) eine stetige Funktion ist.
g ist ja somit eine Komposition einer stetigen Funktion bzw. sogar die stetige Funktion selbst.

Das ist jetzt alles ein bisschen durcheinander und ich weiß auch nicht,ob das jetzt komplett formal ist,aber ich hoffe das hilft.

Comments

Danke, das hilft mir schon um einiges weiter!! :)

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Wenn man das ein bisschen ordnet ,könnte das sogar schon reichen als Beweis.

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Ich denke auch, ich schau mir das auf jeden Fall nochmal genauer an und dann kann ich das auch gleichzeitig schon ordnen. Auf jeden fall danke!

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Die Antwort stimmt leider nicht.

Erstens ist das Infimum einer Menge die größte untere Schranke.
Zweitens stimmt der Satz "g(x) (also f(y) ) liegt also auf jeden Fall im Intervall [f(a),f(b)]" nicht.

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Und wie wäre das ganze dann richtig ?

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Ups Supremum und Infimum verwechselt,dass mir sowas passiert...

Aber warum stimmt der Satz dann trotzdem nicht? Auch bei der kleinsten unteren Schranke ist x nach oben beschränkt durch b . Also a<=y<=b .

Also liegt doch y im Intervall [a,b] und damit f(y) im Intervall [f(a),f(b)] .

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Z.B. \(f:[-1,1]\to\mathbb{R}, f(x):=x^2-1.\) Dann ist \(0\in [-1,1]\), aber \(f(0)=-1 \not\in [f(-1),f(1)]=\{0\}\).

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Habs dann nur blöd ausgedrückt.  y liegt aber auf jeden Fall auch im Bereich [a,b] . Da die Funktion f in diesem Bereich stetig ist, folgt doch auch ,dass g(x) stetig ist oder? Weil sie ja in jedem Punkt x[a,b] gegen f(x) konvergiert.

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Naja, genau das ist ja zu zeigen.

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Also muss ich dann zeigen, dass g(x)=f(y) oder das das infimum von g(x) f(y) ist ?

Stehe momentan leider etwas auf der Leitung, tut mir leid :D