Gewichtsberechnung am Bsp. eines Oktaeders

Question

Das Gewicht eines Schmuckstückes soll bestimmt werden. Es hat die Form eines Oktaeders, dessen Kanten alle 1,2 cm lang sind. Außerdem wird darauf verwiesen, dass die Dichte von "750er" - Gold 16,9 g/cm³ ist. Kann mir jemand einen Lösungsansatz dazu geben oder bestenfalls eine ausführliche Rechnung?

Comments

Mit der Dichte ρ und dem Volumen V ist der Lösungsweg:

M = ρV

Jetzt musst du eigentlich nur noch die Volumenformel für ein Oktaeder herleiten oder nachschlagen.

Answer 1

Hi,

berechne das Volumen und berücksichtige die Dichte um das Gewicht zu errechnen.

 

Für das Volumen eines Oktaeders:   V=a³/3*√(2)

 

a=1,2 cm -> V=0,8146 cm³

 

Nun noch die Dichte berücksichtigen. Es gilt m=V·ρ

m=0,8146 cm³·16,9 g/cm³=13,77 g

 

Grüße

Answer 2

Ein Oktaeder besteht aus zwei zusammengesetzen Pyramiden mit quadratischer Grundfläche, Grundseite a=1,2cm und Seitenkante s=1,2cm.
Also gilt V = 2*P, wenn P das Volumen einer solcher Pyramiden ist.

Das Volumen einer Pyramide lautet

P = 1/3 a²*h

mit der Grundseite a und der Höhe h.
 

Um die Höhe zu berechnen betrachtest du die Pyramide von der Seite und benutzt den Satz des Pythagoras:
Als erstes berechnet man die Diagonale der Grundseite:

d² = a² + a² = 2a²

Nun benutzt man nochmal den Satz des Pythagoras und verwendet

(d/2)² + h² = s²
h² = s² - (d/2)² = s² - a²/2

Wegen s=a lässt sich das noch weiter vereinfachen:

h² = a² - a²/2 = a²/2
⇒ h = a/√2

Nun erhält man das Volumen:

P = 1/3 a²*h = 1/3 a²/√2

Setzt man nun a = 1.2cm ein, erhält man:

P ≈ 0.4073 cm³
Also V ≈ 0.8146 cm³

und mit M = ρV ergibt sich dann:
M = 16.9 g/cm³ * 0.8146 cm³ = 13,77 g

Comments

Danke, dass du dich nochmal etwas ausführlicher ausgedrückt hast. Das hat mir echt geholfen!! :)

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Äähm, kleine Nebensache: Schreibt man das m für Masse nicht klein?

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An sich ist es natürlich völlig egal, wie man seine Variablen nennt, aber du hast Recht, für eine Masse ist das kleine m üblich.

Ich nenne allerdings (wie viele physikalische Lehrbücher) Massen, deren räumliche Ausdehnung auf einen Punkt idealisiert ist m, und geometrisch ausgedehnte Massen, z.B. Kugeln, Zylinder oder eben Pyramiden/Oktaeder, M. Das hat aber nichts zu bedeuten.