Beweis zu einer differenzierbaren Funktion mit Extrema

Question

Aufgabe:

Sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar mit \( f^{\prime}(a) \neq f^{\prime}(b) . \) Setze \( u= \) \( \min \left(f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)\right) \) und \( v=\max \left(f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)\right) \). Zeigen Sie, dass

\( \forall y \in[u, v] \exists x \in[a, b]: f^{\prime}(x)=y \)

Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Fall \( f^{\prime}(a)>0 \) und \( f^{\prime}(b)<0 \).

Answer 1

Befolge den Hinweis,
dann ist u=f ' (b) und v = f ' (a)

Wenn man nun noch hätte dass f ' stetig auf [a,b] ist, wäre
alles klar,   denn mit f ' (a) = u und f ' (b) = v gibt es nach dem Zwischenwertsatz
zu jedem y aus [u;v]  ein x aus [ a,b] mit  f ' (x) = y.