Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und alle Intervalle, auf denen g eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Funktion \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \exp (x) /(1+2|x|) \) alle lokalen Extrema und alle Intervalle, auf denen \( g \) eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt.

Ansatz/Problem:

Nur wie ist die Umkehrfunktion von der Funktion g und wie untersuche ich die Intervalle auf Differenzierbarkeit?

Answer 1

Du musst die Umkehrfunktion nicht bestimmen, sondern nur die Intervalle auf denen g eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt. Wenn du den ersten Teil hast, dann hast du ja ein streng lokales Minimum und ein lokales Maximum bestimmt. Jetzt solltest du noch die Grenzwerte für x gegen minus unendlich und unendlich bestimmen. Dadurch kannst du die Intervalle dann auch herausfinden.
Hier ist der Graph der Funktion:

Comments

aber eigentlich hat man doch kein maximum weil man bei 0 keine genaue Tangente anlegen kann.

Die Stelle x=0 ist ja nicht differenzierbar.

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Schau dir mal die Definition von dem lokalen Maximum an. Dann siehst du, dass die Stelle an der ein lokales Maximum vorliegt nicht unbedingt differenzierbar sein muss. x muss einfach nur im Definitionsbereich liegen.

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stimmt ich habe das lokale überlesen.

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die Grenzwerte sind bei -unendlich = 0 und bei unendlich = unendlich oder?

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und was sagt mir das über die intervalle?

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Ja, genau. Du weißt nun also wo das streng lokale Minimum ist, das lokale Maximum und du kennst die Grenzwerte. Damit weiß du ja automatisch, dass die Funktion in dem Intervall \( ]-∞, 0[ \) streng monoton wachsend ist, in dem Intervall \( ]0, 1/2[ \) streng monoton fallend und im Intervall \( ]1/2, ∞[ \) wieder streng wachsend. Versuch dir mal vorzustellen wie das sonst sein sollte mit den angegebenen Eigenschaften. Das ist die einzige Möglichkeit. Kannst du es nachvollziehen?

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ja kann ich. Mein Problem war die Unstetigkeitsstelle bei 1. Da wusste ich nicht, ob die Auswirkungen hat.

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Bei 1? Du meinst bei 0 oder? Aber an der Stelle 0 ist der Graph stetig, nur nicht differenzierbar.

Danke fürs Auswählen :)

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ja meine ich nur man muss bei der umkehrfunktion doch die x und y werte tauschen, sodass bei der umkehrfunktion 1 der x wert ist

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Solange du es dir jetzt vorstellen kannst, ist es ja gut. Kannst dir ja mal die drei Umkehrfunktionen zeichnen, vielleicht siehst du es ja dann noch besser. Die Umkehrfunktion bekommst du ja durch das Spiegeln an der ersten Winkelhalbierenden.
Würde man nun die Funktion mit \( ℝ \) als Defnitionsbereich an der ersten Winkelhalbierenden spiegeln, so gäbe es ja für x im Intervall \( ]√e/2, 1[ \) drei y-Werte. Somit ist das, was du durch das Spiegeln erhältst, gar kein Graph einer Funktion, da jedem x aus dem Definitionsbereich genau ein y zugeordnet werden muss, damit eine Funktion vorliegt.
Aber in den drei Intervallen in denen eine strenge Monotonie vorliegt hat man diese Problem ja nicht.

Answer 2

Damit eine Funktion g eine Umkehrfunktion besitzt, muss g bijektiv sein.
Die Umkehrfunktion g ist  dazu noch differenzierbar,wenn f'(x) ≠ 0 ist .

Comments

und in diesem fall?

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Bestimme alle \(x\) mit \(f'(x)=0\).

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aber alle x bei der ausgangsfunktion bestimmen?

Das wäre dann f'(x)=0 an der Stelle x=0,5

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also müsste ich überprüfen, ob die Funktion bijektiv ist. Ist es so? Ist sie bijektiv?

Answer 3

Der Graph zeigt meiner Meinung nach das die Funktion
im Bereich  1 / 2 ≤ y ≤ 1 nicht umkehrbar ist.

Setze ich einen y-Wert aus dem Bereich ein erhalte ich bis zu 3
x - Werte.