Differenzierbare Umkehrfunktion vorhanden?

Question

es geht um die Aufgabe auf dem Bild. Die Ableitung habe ich bereits bestimmt (richtig?). Eine Umkehrfunktion müsste existieren, da f im angegebenen Intervall streng monoton steigt und demnach bijektiv ist. Doch wie bestimme ich diese? Oder komm ich auch anders an die Ableitung der Umkehrfunktion?

Comments

Oder komm ich auch anders an die Ableitung der Umkehrfunktion?

So wird's wohl sein. Denn dass man f(x) = y hier nicht effektiv nach x wird aufloesen koennen, sieht man ja mit einem Blick.

Answer 1

die Gleichung der Umkehrfunktion ist nicht gefragt und wird erfreulicherweise (vgl. Kommentar von Fakename) für die Lösung auch nicht benötigt:

Deine Ableitung ist richtig und aus dem von dir genannten Grund existiert die Umkehrfunktion f ^-1.

Da f über ℝ⁺ streng monoton steigend ist, hat die Gleichung

e = e^√x  / (2·√x) + e^1/2 / x   offensichtlich die einzige Lösung x = 1.

→  f (1) = e   →  f ^-1 (e)  = 1 

Mit der Formel  ( f ^-1 )' (x)  =  1 / f ' ( f ^-1(x) )

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

erhält man

            ( f ^-1 ) ' (e)  = 1 / f ' ( f ^-1(e) )  =  1 / f ' (1)  =  1 / (e/2 + √e)

Gruß Wolfgang  

Comments

Danke dir, jetzt hab ich es auch verstanden :)

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Müsste nicht noch gezeigt werden, dass die Umkehrfunktion differenzierbar ist?

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Kann man das nicht aus dem Monotonieverhalten und der Stetigkeit ableiten? Bin mir aber auch nicht ganz so sicher.

Beim Ergebnis fehlt aber der Bruch mit 1 / ... oder?

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> Kann man das nicht aus dem Monotonieverhalten und der Stetigkeit ableiten?

Ich weiß nicht, was du dir da vorstellst.

> Beim Ergebnis fehlt aber der Bruch mit 1 / ... oder? 

Stimmt, gut dass du das gemerkt hast. Werde es ändern.

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@nn

> Müsste nicht noch gezeigt werden, dass die Umkehrfunktion differenzierbar ist? 

Du hast insofern recht, als man zumindest erwähnen sollte, dass sich das aus der Umkehrregel direkt ergibt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Answer 2

Deine Ableitung stimmt schon einmal.

Die Ausgangsfunktion ist streng monoton steigend.
Damit kann die Frage beantwortet werden ob die
Umkehrfunktion differenzierbar ist. Ja.

Es es nicht gefordert die Umkehrfunktion zu
bestimmen.

Graph von f

Comments

Wenn die Ausgangsfunktion streng monoton steigend ist, ist die Umkehrfunktion differenzierbier?

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Die Ausgangsfunktion ist streng monoton steigend.
Damit kann die Frage beantwortet werden ob die
Umkehrfunktion differenzbier ist. Ja.

Nomen werden in der Regel am Anfang groß geschrieben.
Es müsste also wohl "Differenzbier" heißen. Prost!

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@Fragesteller
Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch
Spiegelung an y = x.
Er ist auf voller Länge stetig und auch monoton steigend.

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> Es es nicht gefordert die Umkehrfunktion zu bestimmen.

Trotzdem bezieht sich doch wohl die wesentliche Frage auf f ^-1, die Antwort aber nicht.