Multiplikationstafel GF(8)

Question

ich habe eine Aufgabe bei der ich die Multiplationstafel des GF(8) bestimmen soll.

GF(8) meint doch das gleiche wie ℤ/8ℤ bzw. F8.

Also habe ich folgende Tabelle aufgestellt:

*	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	0	2	4	6
3	0	3	6	1	4	7	2	5
4	0	4	0	4	0	4	0	4
5	0	5	2	7	4	1	6	3
6	0	6	4	2	0	6	4	2
7	0	7	6	5	4	3	2	1

Ist diese Tabelle soweit korrekt?

Desweiteren soll ich noch die primitiven Elemente in GF(8) mit Begründung angeben.
Da es keine Zahl mit der Ordnung modulo m gibt, die gleich der Gruppenordnung der primen Restklassengruppe ist, also:

ord_m (a) = φ(m)
,gibt es keine primitiven Elemente in GF(8).

Ist das korrekt?

Comments

"GF(8) meint doch das gleiche wie ℤ/8ℤ bzw."
Das ist ein Standardfehler. Nein tut es nicht.
Der Restklassenring Z/8Z ist kein Körper, z.B. weil 2 nicht invertierbar ist.
Daher ist es auch keine sonderlich gute idee die Elemente von GF(8) mit 0,...7 zu bezeichnen.

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Ja das stimmt. Also macht man das mit Buchstaben. So wie Wolfram Alpha. Aber wie komme ich zb. auf
d * d = e oder f * f = a, das erschließt sich mir gerade nicht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=GF%288%29

Answer 1

Es ist \(GF(8)=\mathbb{F}_2[X]/(X^3+X+1)\).
Mit der Restklasse \(x:=X+(X^3+X+1)\)
haben wir dann \(GF(8)=\mathbb{F}_2(x)\) mit \(x^3=x+1\).
Die Elemente \(\neq 0\) sind
\(GF(8)^*=\{1,x,x^2,1+x,1+x^2,x+x^2,1+x+x^2\}\).
Hier ein paar Multiplikationsbeispiele:
\(x\cdot x=x^2\),
\(x\cdot(1+x)=x+x^2\),
\(x\cdot(1+x^2)=x+x^3=x+x+1=1\), also \(x^{-1}=1+x^2\),
\(x^2\cdot(x+x^2)=x^3+x^4=x+1+x(x+1)=1+x^2\),
\((1+x)\cdot(1+x+x^2)=x,\quad \) usw....