Untersuchen Sie, wie viel mg des Wirkstoffes nach 12 Stunden abgebaut sind. (Integralrechnung)

Question

Aufgabe:

In die Blutbahn einer Patientin wurden \( 20 \mathrm{mg} \) eines medizinischen Wirkstoffes zum Zeitpunkt \( t=0 \) eingegeben. Die Abbaugeschwindigkeit des Wirkstoffes \( \left(\right. \) in \( \left.\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{h}}\right) \) lässt sich mithilfe der Funktion \( f \) mit \( f(t)=2 \cdot 0,905^{t} \) modellieren.

a) Zeichnen Sie den Graphen von \( \mathrm{f} \) und interpretieren Sie den Verlauf.

b) Untersuchen Sie, wie viel \( \mathrm{mg} \) des Wirkstoffes nach 12 Stunden abgebaut sind.

c) Untersuchen Sie, nach wie vielen Stunden die Hälfte des Wirkstoffes abgebaut ist.

d) Nach welcher Zeit ist weniger als \( 1 \% \) der Anfangsmenge des medizinischen Wirkstoffes im Körper der Patientin?

e) Bestimmen Sie näherungsweise die im Laufe eines Monats abgebaute Menge und nehmen Sie Stellung zur Modellierung der Abbaugeschwindigkeit mithilfe der Funktion \( \mathrm{f} \).

Answer 1

Du musst für b) die Funktion aufleiten weil die Aufleitung von f(x) = F(x) ja angibt wieviel mg im Körper enthalten sind.

Da du f(x) = 2*0,905^t     nicht so einfach aufleiten kannst,nimmst du dir die e-Funktion zur Hilfe.

Generell gilt ja ln(e^x) = x . bzw. e^{ln(x)} = x

Dies kehrst du jetzt ,weil du 0,905 als e^x darstellen möchtest.

Du weißt ,dass e^{ln(0,905)} = 0,905 ist.

Also setzt du dies ein in f(x) und erhältst:
f(x) = 2* e^{ln(0,905)} ^t

Nach Potenzrechenregeln ist dies gleich f(x) =2*e^{ ln(0,905)*t }

Das kannst du ja relativ einfach aufleiten :

Du weißt ja wenn du e^{ax} ableitest ,dass du ae(ax) erhältst.

Dementsprechend ist die Aufleitung von e^{ax} = 1/a*e^{ax}

Wende das auf f(x) an :

F(x) =2/*ln(0,905 )  e^{ln(0,905)*t} +C

Jetzt hast du noch gegeben,dass F(0) = 20 ist

Du setzt also

20= 2/*ln(0,905 )  e^{ln(0,905)*0} +C

20 = 2/*ln(0,905 ) +C

Jetzt kannst du das nach C auflösen und hsat deine Funktion.

Ich konnte das was du als Bild gepostet hast leider nicht so gut lesen.

Für Aufgabe c hast du die Gleichung F(x) = 10. Diese musst du auflösen nach t .

Comments

Danke für die Hilfe, aber wieso muss ich e dazunehmen? Kann man nicht ohne e integrieren?

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Ohne e ist es ziemlich schwer zu intergieren.

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Lautet die Gleichung für c) 10= 2/ln(0,905) x e^ln(0,905)xt +C?

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Ja. Mehr oder weniger. wenn ln(0,905)t in der Potenz stehen,dann schon.

Wobei du , wie bereits gesagt aus:
20 = 2/*ln(0,905 ) +C

Noch dein C berechnen musst.

Answer 2

Folgende Funktionen sollen gleich sein

0.905^t = e^{z*t}  | ln ( )
t * ln ( 0.905 ) = z*t
z  = ln ( 0.905 )
z = -0.1

f ( t ) = 2 * 0.905^t = 2 * e^{-0.1*t}

Stammfunktion
Eine e-Funktion kann nur e-Funktion als Stammfunktion haben.
Ich probiere immer
[ e^{-0.1*t} ] ´ = e^{-0.1*t} * (-0.1)
Wie kommt man von e^{-0.1*t} * (-0.1) nach 2 * e^{-0.1*t} ?
Durch Multiplikation von (-0.1) * ( -20 ) = 2

Die Stammfunktion lautet
( -20 ) * e^{-0.1*t}
( Kann durch Ableitung einmal überprüft werden )

Abgebaute Wirkstoffmenge nach 12 Std
[ ( -20 ) * e^{-0.1*t} ]₀¹²
-20 * ( e^{-0.1*12} - e^{-0.1*0} )
-20 * (  0.301 - 1 )
13.98 mg wurden abgebaut

c.)
Abgebaute Menge 10 mg
10 = ( -20 ) * [ e^{-0.1*t} ]₀^x
-0.5 = e^{-0.1*x} - e^{-0.1*0}
-0.5 + 1 = e^{-0.1*x}
e^{-0.1*x} = 0.5
-0.1*x = ln (0.5 )
x = 6.93 Std

Alle Angaben ohne Gewähr.

Comments

19.8 = ( -20 ) * [ e^-0.1*t ]₀^x
-0.99 = e^{-0.1*x} - e^0
0.01 = e^{-0.1*x}
-0.1*x = ln(0.01)
x = 46.05 Std

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Ich verstehe das nicht so ganz mit der STammfunktion, kannst du nicht mit dieser Stammfkt arbeiten?: F(t)= 2/ln(0,905) * e^ln(0,905)*t +c, denn mit dieser Fkt komm ich besser klar verstehe das mit deiner fkt nicht so gut

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Das hab ich bisjetzt mit dieser Stammfkt verstehe ich es mit deiner nicht so....

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In deiner 3.Zeile hast du anstelle aufzuleiten leider abgeleitet.

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Aber so haben wir es in der Schule gemacht, die Stammfunktion müsste richtig sein. Der andere User der kommentiert hat hat es genau so, ich verstehe gar nichts mehr, ist meins nun falsch?

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Deine Stammfunktion ist
F ( t ) = 2 / ln(0.905) * 0.905^t oder
F ( t )  = -20.04 * 0.905^t

Das ist korrekt.

Was sind jetzt deine Fragen Aufgabe c.) und d.) mit dieser
Stammfunktion berechnen ?

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c.)
Abgebaute Menge 10 mg
10 = ( -20.04 ) * [ 0.905^t  ] ₀^x
-0.499 = 0.905^x - 0.905^0
-0.499 + 1 = 0.905^x
0.905^x = 0.499
x = ln (0.5 )  / ln ( 0.905 )
x = 6.94 Std

Also dasselbe Ergebnis. Stimmt.

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genau, möchte jetzt mit der funktion weiter rechnen

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d.) alt
19.8 = ( -20 ) * [ e^-0.1*t ]₀^x
-0.99 = e^-0.1*x - e⁰
0.01 = e^-0.1*x
-0.1*x = ln(0.01)
x = 46.05 Std

d.)neu
19.8 = ( -20 ) * [  0.905^t  ]₀^x
-0.99 = 0.905^x - 0.905^0
0.01 = 0.905^x
x * ln( 0.905 ) = ln(0.01)
x = 46.13 Std

Beide Berechnungsweisen stimmen also überein.

Noch eine Anmerkung zur Integrationskonstanten C.
Die gehört bei der Stammfunktion immer dazu. Aber bei
der Integralfunktion entfällt sie wieder.
I ( a ) + C - ( I ( b ) + C ) = I ( a ) - I ( b )

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Vielen Dank für deine Mühe!! Habe es jetzt wirklich dank dir verstanden. habe nurnoch eine Frage, wozu ist das

hier da?  ₀^x

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die Funktion
f ( t )
hat die Stammfunktion
∫ f ( t ) dt = F ( t )

Sind die Integrationsgrenzen bekannt z.B. von t = 0 bis t = x bekannt
schreibt man
₀∫^x  f ( t ) dt = [ F ( t ) ]₀^x = F ( x ) - F ( 0 )