Nach welcher Zeit ist weniger als 1% der Anfangsmenge des medizinischen Wirkstoffes im Körper der Patientin?

Question

Aufgabe:

Zum Zeitpunkt t=0 werden einer Patientin 20 mg eines medizinischen Wirkstoffes in die Blutbahn injiziert. Die Abbaugeschwindigkeit des Wirkstoffs (in mg/h) lässt sich mithilfe der Funktion f mit f(t)= 2*0,905^t modellieren.

a) Untersuchen Sie, wie viel mg des Wirkstoffes nach 12 Stunden abgebaut sind.

b) Nach welcher Zeit ist weniger als 1% der Anfangsmenge des medizinischen Wirkstoffes im Körper der Patientin?

Problem/Ansatz:

a) Stammfunktion F(x) = 2t* ???? Benötige ich die Stammfunktion hier überhaupt? Ich dachte, man muss 12 vielleicht für t einsetzen...

b) hier weiß ich leider gar nicht, wie ich das lösen kann...

LG

Answer 1

f(t) = 2·0.905^t = 2·e^(- 0.09982·t)

F(t) = - 20.04·e^(- 0.09982·t)

a)

F(12) - F(0) = 13.99 mg

b)

F(t) - F(0) = 0.99 * 20 --> t = 44.49 Stunden

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Ich habe jedoch noch nicht ganz verstanden, wie du die Stammfunktion gebildet hast.

LG

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Bilde mal von der Funktion f(t) die erste und dann die zweite Ableitung und erkläre was eigentlich nur beim Ableiten passiert.

f(t) = 2·0.905t = 2·e^(- 0.09982·t)

Dann erkläre was du beim Bilden der Stammfunktion vermutest und überprüfe deine Vermutung.

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ich kann dir deine Fragen leider nicht beanworten. Was ich erstaml nicht verstehe, ist das "e" wo kommt das her. Es steht ja für eine exponentialfunktion, aber ist in f(t) doch gar nicht vorhanden...

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Umschreiben der Basis

2·0.905^t
= 2·EXP(LN(0.905^t))
= 2·EXP(t·LN(0.905))
= 2·EXP(t·(-0.09982033528))
= 2·e^(- 0.09982033527·t)

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Achso, man muss den Logarithmus anwenden! Vielen Dank, jetzt ist es mir verständlicher geworden!

LG

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Genau. Man schreibt die Basis um als e-Funktion, weil die ja besonders einfach abzuleiten und zu integrieren ist.

Answer 2

Was ich erstaml nicht verstehe, ist das "e" wo kommt das her. Es steht ja für eine exponentialfunktion,
Leider falsch.

" e " ist eine Zahl ( Eulersche Zahl ) und
beträgt 2.71....
und kann die Basis für eine Exponentialfunktion sein.

Exponentialfunktionen lassen sich leichter handhaben
( aufleiten / ableiten ) mit " e " als Basis.

Jede Exponentialfunktion läßt sich in eine
Exponentialfunktion mit anderer Basis umwandeln.
0,905^t = e^(z) | ln
t * ln ( 0.905 ) = z
0.905 ^t = e ^( t*ln(0.905) )

f ( t ) = 2 * 0,905 ^t
=
f ( t ) = 2 * e^( -0.09982 * t)
ist dasselbe

Wie kann die Stammfunktion gebildet werden. ?
Eine e-Funktion muß auch eine e-Funktion als
Stammfunktion haben.
Probieren wir ganz einfach einmal aus
allgemein
( e ^term ) ´ = e^term * ( term ´)
mit
[ e^( -0.09982*t) ] ´ = e^( -0.09982*t) * ( - 0.09982 )
das * -0.09982  bekommen wir durch die Umkehrfunktion weg
1 / ( - 0.09982 ) * e^( -0.09982*t)
abgelitten
[ 1 / ( - 0.09982 ) * e^ ( -0.09982*t) ] ´ =
e^( -0.09982*t)

Die Stammfunktion ist
S ( t ) =  1 / ( - 0.09982 ) * e^ ( -0.09982*t)
Jetzt müssen wird noch das mal 2 hinzufügen
S ( t ) =  2 / ( - 0.09982 ) * e^ ( -0.09982*t

Ganz schön viel auf einmal.

Frag nach bis alles klar ist.
Gern auch die ganze Aufgabe.