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Bei einem Wachstumprozess kann der momentane Bestand durch die  Funktion f mit f(x))= 8-3e^(-0,02x)

(x Zeit in Minuten) beschrieben werden.

Nach welcher Zeit beträgt der Zuwachs pro Minute weniger als 1%?



Danke für die HIlfe ;)

Avatar von 2,1 k

hallo Immai,
Hier zunächst den Graphen.

~plot~ 8-3*e^{-0,02*x} ; [[ 0 | 8 | 0 | 8 ]] ~plot~

Unter Steigung an einer Stelle versteht man die 1.Ableitung

f ´( x ) = -3 * (-0.02 ) * e^{-0.02*x}
f ´( x ) = 0.06 * e^{-0.02*x}

Beispiel
x = 2
Funktionswert
f ( 2 ) = 5.12
Steigung
f ´ ( 2 ) = 0.058

x = 7
Funktionswert
f ( 7 ) = 5.39
Steigung
f ´ ( 7 ) = 0.052

Gefragt ist nicht nach der Steigung sondern
wann der Zuwachs kleiner als 1 %  ( vom  Funktionswerts ) an einer Stelle ist .

Beispiel aus der Finanzwelt
200 € Kapital
10 € Zuwachs
10 / 200 = 0.05 entspricht 5 % Zuwachs des Kapitals

x = 2
Funktionswert
f ( 2 ) = 5.12
Steigung
f ´ ( 2 ) = 0.058
0.058 / 5.12 = 0.011328 entspricht 1.13 % des Funktionswerts

Allgemein ( rechne zunächst = 0.01 )
f ´ ( x ) / f ( x ) = 0.01
0.06 * e^{-0.02*x} / (  8 - 3 * e^{-0,02*x} ) = 0.01
x = 5.89

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2 Antworten

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berechne:

f '(x) < 0,01

f '(x) = 0,06*e^{-0,02x}

...
Avatar von

also eine ungleichung machen?

halte dich an die Antwort von Mathecoach!

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Ich glaube damit dürfte folgendes gefragt sein:

f'(x) / f(x) < 0.01 --> x > 5.889151782

Avatar von 487 k 🚀
Genau das habe ich mir auch überlegt.
mfg Georg

Kannst du mir bitte noch den zwischenschritt zeigen?

f(x) = 8 - 3·e^{- 0.02·x}

f'(x) = 0.06·e^{- 0.02·x}

f'(x) < 0.01 * f(x)

0.06·e^{- 0.02·x} < 0.01·(8 - 3·e^{- 0.02·x})

0.06·e^{- 0.02·x} < 0.08 - 0.03·e^{- 0.02·x}

0.09·e^{- 0.02·x} < 0.08

e^{- 0.02·x} < 8/9

- 0.02·x < LN(8/9)

x > - 50 * LN(8/9)

x > 5.889151782

danke sehr ;)

vielen dank^^

Das nächste mal probierst du es aber zunächst alleine und sagst dann wo du genau Schwierigkeiten bei der Umformung hast.

hatte ich ja auch zuerst gemacht^^

wusste hier aber nicht wie ich die 0,01 unter dem zuwachs einordnen soll

ich hab irgwie mit der ableitung versucht gehabt.

Mathecoach meint wohl auch nicht den Ansatz, sondern die Lösung der Ungleichung f'(x) / f(x) < 0.01 :-)

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