hallo Immai,
Hier zunächst den Graphen.
~plot~ 8-3*e^{-0,02*x} ; [[ 0 | 8 | 0 | 8 ]] ~plot~
Unter Steigung an einer Stelle versteht man die 1.Ableitung
f ´( x ) = -3 * (-0.02 ) * e^{-0.02*x}
f ´( x ) = 0.06 * e^{-0.02*x}
Beispiel
x = 2
Funktionswert
f ( 2 ) = 5.12
Steigung
f ´ ( 2 ) = 0.058
x = 7
Funktionswert
f ( 7 ) = 5.39
Steigung
f ´ ( 7 ) = 0.052
Gefragt ist nicht nach der Steigung sondern
wann der Zuwachs kleiner als 1 % ( vom Funktionswerts ) an einer Stelle ist .
Beispiel aus der Finanzwelt
200 € Kapital
10 € Zuwachs
10 / 200 = 0.05 entspricht 5 % Zuwachs des Kapitals
x = 2
Funktionswert
f ( 2 ) = 5.12
Steigung
f ´ ( 2 ) = 0.058
0.058 / 5.12 = 0.011328 entspricht 1.13 % des Funktionswerts
Allgemein ( rechne zunächst = 0.01 )
f ´ ( x ) / f ( x ) = 0.01
0.06 * e^{-0.02*x} / ( 8 - 3 * e^{-0,02*x} ) = 0.01
x = 5.89
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