Bestimmen Sie den Zeitpunkt an dem das Wachstum 10% pro minute beträgt.

Question

Aufgabe:

3c, t ist in Stunden angegeben

Problem/Ansatz:

Wäre der Lösungsansatz wann f'(t) = 6* f(t) ist?

Answer 1

Wenn \(t\) in Stunden ist, dann ist \(f'(t)\) das Wachstum pro Stunde. Folglich ist \(\frac{1}{60}f'(t)\) das Wachstum pro Minute. Es soll nun also \(\frac{1}{60}f'(t)=0,1f(t)\) gelten, woraus genau dein Lösungsansatz folgt.

Edit: Es liegt ein Druckfehler vor: gemeint ist auch hier der Zuwachs der nächsten Stunde und die 10 % beziehen sich auch nicht auf den entsprechenden Funktionswert, sondern sind als 0,1 zu interpretieren.

Comments

Beim rechnen kommt da allerdings eine negative Zeit raus, was ja wenig Sinn macht

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Nach einer kurzen Recherche habe ich herausgefunden, dass es um den Zuwachs der nächsten Stunde geht. Das ist wohl ein Druckfehler. Gemeint ist hier dann auch der absolute Zuwachs, also \(f'(t)=0,1\) ist zu lösen.

Quelle: https://c.wgr.de/d/f0ee5552de84c889f06bca15c371a03744dd9cecb418dadb5235c206f80c623d.pdf/88761_Werbung.pdf

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Okay cool vielen dank dir! Dann macht das alles schon wesentlich mehr sinn

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Ja, das ist schon ungewöhnlich, wenn da auf einmal die Zeiteinheit wechselt. ;)

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Ist aber auch schon komisch bei negativem wachstum von "ZUwachs" zu reden

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Der Zuwachs selbst ist nicht negativ und kann auch gar nicht negativ sein, da die Funktion monoton wachsend ist (plotte sie mal). Das Ergebnis, was du mit der Gleichung berechnest, gibt ja einen Zeitpunkt an. Der kann durchaus negativ sein. Dann liegt das ganz aber vor Beobachtungsbeginn und da muss man sich dann überlegen, inwiefern das sinnvoll ist.

Answer 2

Ich hätte es anders gelöst. Hier mein Ansatz und mein Ergebnis:

f(t + 1)/f(t) - 1 = 0.1 → t = 5.812 Stunden

Etwa 5.812 Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt der Zuwachs in der folgenden Stunde ca. 10%

Comments

Hi danke für deine Antwort, aber wie bist du denn genau auf die formel f(t+1)/f(t)-1 gekommen

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Die Formel für die Erhöhung oder Verminderung eines Grundwertes G um einen Prozentsatz p% lautet

W = G * (1 ± p%)

Aufgelöst nach p% ergibt sich

± p% = W/G - 1

Dort setzt du nur ein

W = f(t + 1) und G = f(t)

± p% = f(t + 1)/f(t) - 1

und der Prozentsatz ist bekannt und ist 10% = 0.1

Du kannst natürlich auch näherungsweise mit der Ableitung rechnen.

f'(x)/f(x) = 0.1 → t = 6.030 Stunden

Dieses ist aber nur näherungsweise, weil f'(x) ja nicht die Änderung in der nächsten Stunde ist, sondern nur die momentane Änderung für die nächste Stunde.

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Man könnte sonst auch die Formel

± p% = W/G - 1
± p% = W/G - G/G
± p% = (W - G)/G

benutzen. Also Änderung gegenüber dem Grundwert geteilt durch den Grundwert. Aber das macht die Formel nicht einfacher und deswegen lass ich das.