Bestimme ich aus der ersten x = 2\frac{2}{3}y und setze in die zweite ein, dann habe ich

Question

In den zwei Aufgaben geht es jeweils um zwei verschiedene Vermögen, einfach x und y genannt.
Bei der einen Gleichung geht es um:
$$x~+~\frac{1}{2}y~–~\frac{1}{3}x~=~y~+~\frac{1}{3}x~–~\frac{1}{2}y$$
Das kann ich ja wohl verschieden lösen.
$$\frac{2}{3}x~+~\frac{1}{2}y~=~\frac{1}{2}y~+~\frac{1}{3}x \frac{2}{3}x~=~\frac{1}{3}x $$
Das ist ja bereits eine widersprüchliche Aussage. Wenn ich jetzt weiterrechne, kann ich verschieden verfahren:
Teile ich beidseitig durch x, ist $$\frac{2}{3}~=~\frac{1}{3} oder 0 = +/–~\frac{1}{3} $$.
Das ist auch widersprüchlich und die Aufgabe bzw. Gleichung hat somit keine Lösung.
Oder ich addiere beidseitig und erhalte:
$$x + y = y + ~\frac{2}{3}x   x = ~\frac{2}{3}x 1 = ~\frac{2}{3} oder +/–\frac{1}{3}~=~0 $$
Rechnete ich $$x – ~\frac{2}{3}x = 0 und \frac{1}{3}x~=~0$$, dann ergäbe sich ja eigentlich x = 0.
Dann ist y entweder auch 0 oder irgendeine beliebige Zahl. Oder? Die Lösungsmenge ist dann offensichtlich 0 und irgendwas, je nach gewähltem Zahlbereich.
Das eine Vermögen bzw. die Habseligkeiten des einen bestünden dann aus Nichts.


II. Auch hier geht es um zwei Vermögen, wiederum x und y genannt.
$$1. x + ~\frac{1}{3}y = 3y~~~~~ 2. y + \frac{1}{4}x = 2x $$
Bestimme ich aus der ersten x = $$2\frac{2}{3}y $$ und setze in die zweite ein, dann habe ich
$$1\frac{3}{3}y~=~5\frac{1}{3}y $$
Dann kann ich wieder durch y teilen und komme auf 0 = $$+/–\frac{11}{3} $$
Subtrahiere ich wieder eines vom anderen(Was hat da Vorrang), erhalte ich $$0 = +/– \frac{11}{3}y $$. Wenn ich teile ist y = 0. Dann aber ist doch in diesem Falle x auch = 0.
Um das zu ermitteln, muß man eigentlich gar nicht rechnen.
Könnte man x und y = 0 als Lösungen ansehen, immerhin hat dann keiner auch nur irgendein Hab und Gut?
Könnte man das irgendwie aus der Aufgabenstellung heraus begründen.

Answer 1

Deine Gleichungen sind teilweise ziemlich zerstückelt... achte darauf, dass du sie auch richtig tippst.

Das ist ja bereits eine widersprüchliche Aussage.

Nein, ist es nicht. Denn die Lösung davon ist \(x=0\). Eine Division durch \(x\) schließt immer \(x=0\) aus. Der Fall muss dann gesondert betrachtet werden. Man kann die Lösung \(x=0\) und \(y\) beliebig dann aber auch schon sofort ablesen.

Dasselbe Problem im zweiten Fall. Die Division durch die Variable gilt nur für \(x\neq 0\), weshalb der Fall \(x=0\) wieder separat betrachtet werden muss. Auch auch hier lässt sich bereits zu Beginn verifizieren, dass \(x=y=0\) eine Lösung des Gleichungssystems ist. Und ja, das ist als Lösung durchaus zulässig.

Inwiefern diese Lösung dann sinnvoll für die Aufgabenstellung ist, ist wieder eine andere Frage.

Merke: Divisionen durch die Variable sollte man grundsätzlich vermeiden, wenn man nicht weiß, was man da eigentlich tut.