Nach welcher Zeit beträgt der Zuwachs pro Minute weniger als 1%?

Question

Bei einem Wachstumprozess kann der momentane Bestand durch die  Funktion f mit f(x))= 8-3e^(-0,02x)

(x Zeit in Minuten) beschrieben werden.

Nach welcher Zeit beträgt der Zuwachs pro Minute weniger als 1%?

Danke für die HIlfe ;)

Comments

hallo Immai,
Hier zunächst den Graphen.

~plot~ 8-3*e^{-0,02*x} ; [[ 0 | 8 | 0 | 8 ]] ~plot~

Unter Steigung an einer Stelle versteht man die 1.Ableitung

f ´( x ) = -3 * (-0.02 ) * e^{-0.02*x}
f ´( x ) = 0.06 * e^{-0.02*x}

Beispiel
x = 2
Funktionswert
f ( 2 ) = 5.12
Steigung
f ´ ( 2 ) = 0.058

x = 7
Funktionswert
f ( 7 ) = 5.39
Steigung
f ´ ( 7 ) = 0.052

Gefragt ist nicht nach der Steigung sondern
wann der Zuwachs kleiner als 1 %  ( vom  Funktionswerts ) an einer Stelle ist .

Beispiel aus der Finanzwelt
200 € Kapital
10 € Zuwachs
10 / 200 = 0.05 entspricht 5 % Zuwachs des Kapitals

x = 2
Funktionswert
f ( 2 ) = 5.12
Steigung
f ´ ( 2 ) = 0.058
0.058 / 5.12 = 0.011328 entspricht 1.13 % des Funktionswerts

Allgemein ( rechne zunächst = 0.01 )
f ´ ( x ) / f ( x ) = 0.01
0.06 * e^{-0.02*x} / (  8 - 3 * e^{-0,02*x} ) = 0.01
x = 5.89

Bei Fragen wieder melden.

Answer 1

berechne:

f '(x) < 0,01

f '(x) = 0,06*e^{-0,02x}

...

Comments

also eine ungleichung machen?

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halte dich an die Antwort von Mathecoach!

Answer 2

Ich glaube damit dürfte folgendes gefragt sein:

f'(x) / f(x) < 0.01 --> x > 5.889151782

Comments

Genau das habe ich mir auch überlegt.
mfg Georg

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Kannst du mir bitte noch den zwischenschritt zeigen?

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f(x) = 8 - 3·e^{- 0.02·x}

f'(x) = 0.06·e^{- 0.02·x}

f'(x) < 0.01 * f(x)

0.06·e^{- 0.02·x} < 0.01·(8 - 3·e^{- 0.02·x})

0.06·e^{- 0.02·x} < 0.08 - 0.03·e^{- 0.02·x}

0.09·e^{- 0.02·x} < 0.08

e^{- 0.02·x} < 8/9

- 0.02·x < LN(8/9)

x > - 50 * LN(8/9)

x > 5.889151782

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danke sehr ;)

vielen dank^^

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Das nächste mal probierst du es aber zunächst alleine und sagst dann wo du genau Schwierigkeiten bei der Umformung hast.

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hatte ich ja auch zuerst gemacht^^

wusste hier aber nicht wie ich die 0,01 unter dem zuwachs einordnen soll

ich hab irgwie mit der ableitung versucht gehabt.

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Mathecoach meint wohl auch nicht den Ansatz, sondern die Lösung der Ungleichung f'(x) / f(x) < 0.01 :-)