Zeigen Sie: Ist Q: R2 → R2 eine lineare Abbildung, dann ist Q orthogonal.

Question

Aufgabe:

Die Vektorräume \( \mathbb{R}^{n} \) seien im Folgenden stets mit dem Standardskalarprodukt ausgestattet.

a) Bestimmen Sie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine \( Q R \)-Zerlegung der Matrix

\( A=\left[\begin{array}{rrr} 4 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 4 & 6 & 3 \end{array}\right] \)

b) Zeigen Sie, dass folgendes gilt: Ist \( Q: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) eine lineare Abbildung, die irgendeine Orthonormalbasis \( \mathcal{B}=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} \) des \( \mathbb{R}^{2} \) auf eine Orthonormalbasis abbildet, dann ist \( Q \) orthogonal.

Ansatz/Problem:

Aufgabenteil a) konnte ich lösen: B_ONB q1= (2/3 1/3 2/3) q2=(0 0 0) q3=(0 0 0)

Answer 1

seien z1, z2  aus IR^2 mit z1 = x1*b1 + y1*b2    und z2 = x2*b1 + y2*b2

dann ist wegen Linearität

Q(z1) =  x1*Q(b1) + y1*Q(b2 ) und entsprechned für z2 ....

also das Skalarprodukt

Q(z1)*Q(z2) = ( x1*Q(b1) + y1*Q(b2 ))*( x2*Q(b1) +  y2*Q(b2))

= x1*x2*Q(b1)*Q(b1) +  x1*y2Q(b1)*Q(b2) + ......

da Q(b1) und Q(b2) eine Orthonormale Basis sind ist Q(b1)*Q(b1)=1 und Q(b1)*Q(b2)= 0   etc

also bleibt von der Gleichung nur x1*x2+y1*y2 =   z1*z2

Die Abbildung erhält das Skalarprodukt, ist also orthogonal.

Comments

ich verstehe nicht was x1,y1 bzw. x2,y2 ist?

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wenn b1, b2 die beiden Basisvektoren der Basis B sind. Dann kann jeder Vektor z aus R^2
als Linearkombination dieser Basisvektoren dargestellt werden.
Wenn man also 2 Elemente z1 und z2 hat, hat man auch 2 Darstellungen
 z1 = x1*b1 + y1*b2    und z2 = x2*b1 + y2*b2 
und die x1,x2,y1,x2 sind die Zahlen, die für die Linearkombination braucht.

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leider verstehe ich immer noch nicht wie die Gleichung aussehen soll, muss ich für b1, b2 die Vektoren aus der Matrix A einsetzten?

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Du willst doch beweisen :  Q ist orthogonal.

Dazu musst du zeigen:

Wenn ich irgend zwei Vektoren z1 und z2 aus R^2 nehme, dann

ist das Skalraprodukt z1*z2 das gleiche wie das Skalarprodukt Q(z1)*Q(z2)

Deshalb habe ich den Beweis mit Q(z1)*Q(z2) begonnen und da man ja eine

Information über die Bilder der Basisvektoren hat, habe ich erst mal versucht die

Basisvektoren ins Spiel zu bringen und deshalb eine Darstellung von z1 und z2 durch

die Basisvektoren betrachtet.

Am Ende habe ich das übrigens nicht weiter ausgeführt, weil ich dachte, das sei klar:

Das Skalarprodukt z1*z2 ist tatsächlich gleich x1*x2+y1*y2, weil  bei

(x1*b1 + y1*b2) * (x2*b1 + y2*b2 ) die Terme  b1*b1 = 1 und b2*b2 = 1 und b1*b2 =0

sind, denn B ist ja eine Orthonormalbasis und das heißt ja: Jeder Basisvektor

hat mit sich selbst das Skalarprodukt 1 und mit jedem anderen Basisvektor das

Skalarprodukt 0.