Wenn man nun zeigen kann, dass man alle Transpositionen als Produkte
von Elementen aus \(M\) schreiben kann, ist der Beweis erbracht
Man rechnet leicht nach, dass
\((1,2,\cdots,k)=(1,k)(1,k-1)\cdots(1,2)\). Hieraus ergibt sich:
\((1,3)=(1,3)(1,2)(1,2)=(1,2,3)(1,2)\), so dass sich \((1,3)\) als
Produkt der Elemente von \(M\) schreiben lässt.
So verfahren wir weiter:
\((1,2,3,4)(1,2)(1,3)=(1,4)(1,3)(1,2)(1,2)(1,3)=(1,4)(1,3)(1,3)=(1,4)\).
Entsprechend erhalten wir alle Transpositionen der Gestalt \((1,k)\)
als Produkt der \(M\)-Elemente.
Eine beliebige Transpostion \((j,k)\) können wir schreiben als \((1,j)(1,k)(1,j)\).
Alle Transpositionen sind also als Produkte der Elemente aus \(M\) schreibbar, q.e.d.