Permutation als Produkt aus der Menge M, mit M:={(1,2),(1,2,3),......,(1,2,3,...,n)}

Question

Meine Frage:
Hallo.
Muss folgende Aufgabe erledigen: 

Zeigen Sie, dass jedes Element in ∑ n, 2 ≤ n, als Produkt von Zyklen aus der Menge
M:={(1,2),(1,2,3),(1,2,...,n)} 
geschrieben werden kann.


Meine Ideen:
Habe bisher leider Schwierigkeiten einen Ansatz für diese Aufgabe zu finden. Ich weiß, dass ich jede Permutation als Produkt von Transpositionen darstellen kann. Mehr leider nicht.
Danke schon mal im Voraus!

Answer 1

Wenn man nun zeigen kann, dass man alle Transpositionen als Produkte

von Elementen aus \(M\) schreiben kann, ist der Beweis erbracht

Man rechnet leicht nach, dass

\((1,2,\cdots,k)=(1,k)(1,k-1)\cdots(1,2)\). Hieraus ergibt sich:

\((1,3)=(1,3)(1,2)(1,2)=(1,2,3)(1,2)\), so dass sich \((1,3)\) als

Produkt der Elemente von \(M\) schreiben lässt.

So verfahren wir weiter:

\((1,2,3,4)(1,2)(1,3)=(1,4)(1,3)(1,2)(1,2)(1,3)=(1,4)(1,3)(1,3)=(1,4)\).

Entsprechend erhalten wir alle Transpositionen der Gestalt \((1,k)\)

als Produkt der \(M\)-Elemente.

Eine beliebige Transpostion \((j,k)\) können wir schreiben als \((1,j)(1,k)(1,j)\).

Alle Transpositionen sind also als Produkte der Elemente aus \(M\) schreibbar, q.e.d.