Komplexe Rechnung mit einer Wurzel lösen

Question

wir nehmen momentan in der Schule die komplexe Rechnung durch und ich bin da auf etwas gestoßen, auf das ich keine Lösung finde und zwar habe ich Z  = √a+b*iWie bekomme ich die Wurzel da weg? muss ich die Funktion dafür quadrieren und wenn ja kann ich das dann so stehen lassen? Ich hoffe es kann mir jemand von euch dabei helfen:).

Answer 1

z = √(a + ib)

z ^2 = a + ib

Nimm z = x + iy und bestimm x und y separat.

(x + iy)^2 = a + ib

x^2 + 2ixy - y^2 = a + ib

Nun Realteil und Imaginärteil dieser Gleichung trennen

x^2 - y^2 = a       (I)

2xy = b                (II)

Einsetzverfahren

y = b/(2x) in (I) einsetzen

x^2 + b^2/(4x^2) = a        (I)' Das hier nach x auflösen.

x^4 - ax^2 + b^2 = 0    . Substitution x^2 = u

u^2 - au + b^2 = 0     . Quadr. Ergänzung

u^2 -au + (a/2)^2 - (a/2)^2 + b^2 = 0

(u - a/2)^2 = (a/2)^2 - b^2

u-a/2 = ±√((a/2)^2 - b^2)

u_1,2 = a/2 ±√((a/2)^2 - b^2)

Dann wieder rücksubstituieren und zum Schluss noch zu jedem x ein y ausrechnen. (Umformungen ohne Gewähr: Kritisch nachrechnen!)

Es sollte in der Regel dann eigentlich 2 Lösungspaare geben.

Auflösen kann man sich sparen, wenn man Polarkoordinaten (Exponentielle Darstellung) der komplexen Zahlen eingeführt hat.

Comments

ok, erstmal danke für die Antwort, aber das muss doch irgendwie leichter gehen oder? Kannst du mir ,falls das gehen sollte, an einem Beispiel zeigen wie das geht. Ich habe gehört, dass das in der exponentiellen Form viel leichter sei.