Bestimme das Signum der Permutaion die i auf n-i+1 abbildet

Question

Hallo Ich will das sgn von folgender Permutation bestimmen:f: i→n-i+1

also (1,2,3,....,n)↦(n,n-1,n-2,...,1)

ich vertue mich bei der Produktberechnung kann mir dabei jemand helfen?

sgn(f)= ∏(i<j)=((n-1-n)(n-2-n)(n-3-n)...(1-n)(n-2-n-1)(n-3-(n-1))...(1-(n-1))...(1-2))/((2-1)(3-1)(4-1)...(n-1)(3-2)(4-2)...(n-2)...)-n

also = ((-1)(-2)(-3)...(1-n)(-1)(-2)...(2-n)(-1)(?))/(1*2*3*...n...?)

wer kann mir helfen hier systematisch ranzugehen?

Vielen Dank

Ich

Answer 1

Wenn du es mit einem Induktionsbeweis versuchst?

(1) ---> (1) signum 1          (?)

(12) --> (21)  signum -1        (?)

(123) --> (321) 

(123)

(213)     signum (-1)

(231)

(321)      Signum (-1)*(-1)^2 = (-1)^3 = -1

(1234)

(3214)    bis hier signum -1

(3241)

(3421)

(4321)  signum  (-1)* (-1)^3 = 1.

(12345) signum (1)*(-1)^4 = 1

(123456) signum (1)*(-1)^5 = -1

Vermutung

n  -------> signum (-1)^ ( Round((n-1)/ 2)

Wenn n+1 dazukommt: 

erste n umordnen, signum (-1)^ (Round((n-1)/2)

dann mit n Transpositionen noch 'n+1' nach vorne bringen. signum (-1)^n

Total signum (-1)^ (Round((n-1)/2)) * (-1)^n 

Wechselt also jedes zweite Mal das Vorzeichen, wie vermutet.

Achtung: Induktionsschritt ist noch handgestrickt. Versuche das zu genauer bestätigen oder zu widerlegen.

Comments

danke was meinst du mit ROUND und TOTAL?

ich würde es gerne mit dem Produkt versuchen, auch wenn induktion vielleicht eindeutiger erscheint.

Danke für deine Idee

Liebe Grüße

Ich

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ROUND ist mathematisch auf eine ganze Zahl runden.

Total = insgesamt.