Zeigen Sie: f hat kein Extremum für x >0 !

Question

gegeben ist die Fubktion f(X) = -e^{-x} (2-e^{-x} )

ICh habe die erste Ableitung gebildet

f ' (x) = e^{-x} (2-e^{-x}) + e^{-x} * (-e^{-x})

und hier habe ich schon Probleme mit dem vereinfachen...
ist es so richtig:

f ' (x) = e^{-x} (2-e^{-x}) - e^{-2x} ??

Würde mich über einen Lösungsweg freuen .

Answer 1

das ist schon richtig zusammengefasst hier würde sich aber eher ausklammern anbieten um die Frage zu beantworten.

$$ f'(x) = e^{-x}(2-e^{-x}-e^{-x}) = e^{-x}(2-2e^{-x})= 2e^{-x}(1-e^{-x}) $$

Gruß

Answer 2

f ' (x) = e^-x (2-e^-x) + e^-x * (-e^-x)

und hier habe ich schon Probleme mit dem vereinfachen...
ist es so richtig:

f ' (x) = e^-x (2-e^-x) - e^-2x

         = 2*e^{-x} - e^-2x   - e^-2x  

= 2*e^{-x} - 2e^-2x

=  2*e^{-x}  * (1 - e^-x  )

und für x>0 ist das alles positiv.

Comments

Danke, und wie genau habe ich jetzt bewiesen dass es für x > 0 keine Extrempunkte gibt? Dadurch dass die e-Funktion nie Null wird?? LG

---

ne, wenn es ein Extremum gäbe, müsste dort die Abl. gleich Null sein.

Für x>0 ist aber bei der Abl. alles positiv.

Answer 3

f ' (x) = e^-x (2-e^-x) + e^-x * (-e^-x)

dann geht es weiter durch ausklammern von e^{-x}
f ´( x ) = e^{-x} * ( 2 - e^{-x} - e^{-x} )
f ´( x ) = e^{-x} * ( 2 - 2 * e^{-x}  )
f ´( x ) = 2 * e^{-x} * ( 1 - e^{-x}  )

2 * e^{-x} * ( 1 - e^{-x} ) = 0
Der erste Faktor e^{-x} ist stets positiv. Also
1 - e^{-x} = 0
e^{-x} = 1  | ln ( )
-x = ln ( 1 ) = 0
x = 0

Da es keine weitere Stelle mit waagerechter Tangente gibt
gilt : kein Extremum für x > 0.