lokale Umkehrbarkeit/globale Umkehrbarkeit. f(x1,x2)=(x21 −x2,2x1x2)

Question

Es sei f(x1,x2)=(x21 −x2,2x1x2). 

(a)  Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt (x1,x2) = (0,0) lokal umkehrbar ist. Ist f als

Abbildung von R2 \ {(0, 0)} in sich global umkehrbar?

(b)  Finden Sie eine affine Abbildung, die die lokale Umkehrung f^ (−1) in der Nähe von f(1,−1) approximiert. 

Comments

Hallo, Hat jemand ne Idee, wie b zu lösen ist?

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Zu (a)

Du berechnest die Determinante der Jacobi-Matrix in (0,0). Disee muss ungleich 0 sein, dann ist f in (0,0) lokal invertierbar.

Dann untersuchst du ob f: |R\{(0,0)} -> f( |R\{(0,0)}) global umkehrbar ist.

Zu (b)

Taylorreihe - die Ableitungen der Umkehrfunktion schenkt dir auch der lokale Umkehrsatz.

Du kannst aber auch eine eine Frage stellen.

https://www.mathelounge.de/ask

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Hallo, Danke erstmal für die Antwort.

könntest du mir vielleicht genauer erklären, wie ich überprüfen soll, ob f global umkehrbar ist.

Geht das auch durch die Jacobi-Matrix??

und zu B. Muss ich die Jacobi-Matrix invertieren, und dann den gegebenen Punkt einsetzen?? oder war das falsch?

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Lautet die Funktion \(f(x_1,x_2)=(x_1^2-x_2,2x_1x_2)\)?

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Die Funktion lautet f (x, y) = ( x² - y²  ,  2xy )

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Für globale Umkehrbarkeit musst du zeigen, dass f injektiv und surjektiv auf dem ganzen Definitionsbereich ist. Für die Injektivität gibt es ein nützliches Kriterium.

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Oke super. Jetzt habe ich a komplett. wäre sehr nett von dir, wenn du mir bei B noch weiterhelfen könntest.

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Es gilt doch \(J_{f^{-1}}(f(x))=J_f(x)^{-1}\). Weißt du, wie das Taylorpolynom ersten Grades aussieht?

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ich weiß  was mit dieser Formel  J f^-1 (f(x))  =  J f(x)^-1 gemeint ist.

ist das, was du meinst ?  f(x0, y0) + (x - x0) f_x(x0,y0) + (y - y0) f_y(y - y0).

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Nein, das ginge so bei einer skalarwertigen Funktion. Du kriegst doch lauter Vektoren als Bilder.

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Ich verrate es einfach mal. Das Taylorpolynom ersten Grades ist: \(T_{f^{-1}}(x,x_0)=f^{-1}(x_0)+J_{f^{-1}}(x_0)(x-x_0)\)

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das heißt, ich soll den vorgegebenen Punkt  (1, -1) in  J f(x)^-1 einsetzen, und dann in alles in den Taylor-Polynom  einsetzen.

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Ich bin mir gerade gar nicht mehr so sicher, um ehrlich zu sein. Es kann auch sein, dass du einen Diffeomorphismus zwischen den zwei Umgebungen angeben musst.

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Oke, Vielen lieben Dank für deine Hilfe.