Du kannst die Schülerinnen und Schüler als schwarze beziehungsweise rote Kugeln auffassen, die sich in einer Urne befinden und ohne Zurücklegen gezogen werden. Insgesamt sind es 14 Schüler(innen). Du "ziehst" 4 Schüler, die Reihenfolge ist egal. Es gibt \( \binom{14}{4} \) Möglichkeiten \(4\) Schüller aus den \(14\) zu ziehen. Die Zufallsvariable \(X\) gibt die Anzahl der gezogenen Jungen an. Sei \(X=k\), da wir insgesamt \(4\) Leute ziehen, muss dann die Anzahl der gezogenen Mädchen \(4-k\) sein. Es gibt insgesamt \( \binom{6}{k} \) Möglichkeiten, \(k\) Jungen aus den \(6\) Jungen zu ziehen und analog \( \binom{8}{4-k} \) Möglichkeiten \(4-k\) Mädchen aus den insgesamt 8 Mädchen zu ziehen.
Da wir, wenn wir \(k\) Jungen ziehen wie gesagt automatisch \(4-k\) Mädchen gezogen haben müssen und man die Möglichkeiten, die man beim Ziehen der Jungen und Mädchen hat, kombinieren kann, hat man so bei viermaligem Ziehen aus eben diesem Deutschkurs genau \( \binom{6}{k} \cdot \binom{8}{4-k} \) Möglichkeiten, \(k\) Jungen zu ziehen. Das teilt man durch die Gesamtzahl der Möglichkeiten und erhält so für \(k \in \{0,1,2,3,4\} \):
$$ P(X=k)=\frac{\binom{6}{k} \cdot \binom{8}{4-k}}{\binom{14}{4}} $$
Das entspricht übrigens genau der Wahrscheinlichkeitsverteilung der hypergeometrischen Verteilung mit Parametern \(N=14\) (Anzahl der "Kugeln" bzw. hier Schüler), \(n=4\) (Anzahl der Züge), \(R=6\) (Anzahl der roten Kugeln in der Urne; Hier: Anzahl der Jungen), \(N-R=8\) (Anzahl der schwarzen Kugeln; hier: Anz. der Mädchen) ;)
Also \(X\) ist hypergeometrisch verteilt.
