Stochastik - Wahrscheinlichkeitsverteilung

Question

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei einem Schuss beträgt p=0,8.
Eine Serie besteht aus 3 Schüssen.
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: "Anzahl der Treffer in einer Serie" ?

Comments

Meinst Du hier genau k Treffer oder mindestens k Treffer?

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Ich denke genau k Treffer. Das sagt mir die Aufgabe hier leider nicht.
Ich war bereits soweit gekommen, dass ich die unterschiedlichen Möglichkeiten ermittelt habe, also wenn man jetzt annimmt, dass T=Treffer und T" = kein Treffer:

0 Treffer = (T", T", T")
1 Treffer = (T , T", T") und (T", T, T") und (T" , T" ,T)
2 Treffer = (T, T, T") und (T, T", T) und (T" , T , T )
3 Treffer = (T, T, T)

das macht insgesamt 8 Möglichkeiten. Ich weíß nur nicht, wie ich die Wahrscheinlichkeiten der Möglichkeiten herauskriege unter der Berücksichtigung, dass pro schuss mit einer wahrscheinlichkeit von p=0,8 getroffen wird.

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Sagt dir Binomialverteilung etwas?

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Wenn es nicht dasselbe ist wie Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann nicht. :(
Also die Aufgabe zielt im Endeffekt darauf ab, erwartungswert, Varianz und Standardabweichung zu berechnen. Mir fehlt einzig und allein der Ansatz, wie ich die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Möglichkeiten berechnen kann. Alles was ich versucht hab, war immer falsch, weil die Einzelwahrscheinlichkeiten nicht zusammen 1 ergeben haben...

Answer 1

Hi.

kurz und schmerzlos:

Trefferwahrscheinlichkeit: \( p = 0,8 \)

Wahrscheinlichkeit aus 3 Schüssen \(X = k\) Treffer zu landen:

$$ P(X = k) = \binom{3}{k}p^k(1-p)^{3-k} $$

Dies ist eine Binomialverteilung. Du kannst dies mit deinen bisherigen Ergebnissen vergleichen in dem du die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse addierst die zum jeweiligen Ereignis \(k\) aus \(3\) Treffer gehören.

Gruß

Comments

! ich versuche das mal!

Answer 2

Hi,
die Wahrscheinlichkeit bei \( n \) Versuchen genau \( k \) Erfolge zu haben ist binomialverteilt und die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet sich wie folgt:
$$ P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$ siehe auch hier https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
Der Erwartungswert beträgt $$ E = np $$ und die Varianz ist $$ V = np(1-p) $$ steht auch alles in dem angegebenen Link.