Aus einer Urne mit m+ n unterscheidbaren Kugeln sollen k Kugeln gezogen werden

Question

a.) Begründen Sie, warum folgende Summe das richtige Ergebnis liefert:

( m über 0)* (n über k) + (m über 1)* (n über k- 1)+ ( m über 2)*( n über k - 2)+ ...+( m über k-1)*(m über k)* (n über 0)

mit k größer m, n und k,m, n E N

Bearbeiten Sie dazu folgende Aufgaben:

(i) Prüfen Sie die Richtigkeit der Aussage zunächst für den konkreten Fall: m =5, n=7, k=4

(ii) Erläutern Sie, welche Bedeutung die einzelnen Summanden in der Summe haben, und begründen Sie auf dieser Grundlage, warum die gegebene Summe das richtige Ergebnis liefert.

b.) Sei nun wie beim Lottospiel m+n= 49 und K= 6. geben Sie auf der Grundlage Ihrer in a) gewonnenen Erkenntnisse die Anzahl der Möglichkeiten an im Lotto nur 3 richtige zu tippen.

Kann mir da jemand helfen? Komme auf keinen Ansatz wie man das machen könnte.

Answer 1

Du ziehst \(k\) Kugeln aus einer Urne mit \(m\) Kugeln einer Sorte (1) und \(n\) Kugeln der anderen Sorte (2).

Dann beschreibt : \( \binom{m}{l}\cdot \binom{n}{k-l} \) ,wobei \( l \in \{0,..,k\} \) alle Möglichkeiten \(l\) Kugeln von Sorte (1) und \(n-l\) Kugeln der Sorte (2) zu ziehen.

Summierst du über alle \(l\), dann kriegst du die Anzahl aller Möglichkeiten \(k\) Kugeln aus der Urne zu ziehen.

Gruß