Partielle Ordnung bestimmen

Question

ich habe hier eine Aufgabe zur partiellen Ordnung. Also sollen zeigen, dass sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.

Sei M eine endliche Menge mit mindestens zwei verschiedenen Elementen. Prüfe, ob die folgende Relation R auf der Potenzmenge P(M) reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und/oder transitiv ist. Ist R eine partielle Ordnung auf P(M)? Begründen Sie Ihre Antworten. Dabei ist

R = {(A, B) ∈ P(M) × P(M) | |A| ≤ |B|}.

Answer 1

R= {(A,B) Element von P(M) x P(M) | |A|  ≤ |B|}.

reflexiv:   sei X aus P(M) .  Dann müsste für (X,X) aus R gelten  |X| ≤ |X | .stimmt.

symm:    seien x,y aus P(M) mit (X,Y) aus R.  Dann also |X| ≤ |y |

da M zwei verschieden Elemente ( etwa a und b ) enthält

gilt dies auch für X = {a} und Y = {a;b}.    denn |X| ≤ |y |  heißt ja dann 1 ≤ 2

aber nicht |y| < |X | also nicht symmetrisch.

antisymm:  wenn (X,Y) aus R und  (Y,X) aus R dann müsste X = Y folgen.

Das stimmt auch nicht, denn mit X={a} und Y = {b}  (siehe oben) gilt

(X,Y) aus R und  (Y,X) aus R   aber es ist nicht X = Y ,

 transitiv
wenn (X,Y) aus R und  (Y,Z) aus R dann müsste folgen (X,Z) aus R.
(X,Y) aus R heißt  |X| ≤ |Y| und   (Y,Z) aus R heißt   |Y| ≤ |Z| und damit
wegen der Transitivität der kleinergleich-Relation in N auch |X| ≤ |Z|

wegen fehlender antisymmetrie keine partielle Ordnung.