Hallo Thomas,
zu a)
Die Wendetangente ist eine Gerade, die genau durch den Wendepunkt geht aber sonst durch keinen anderen Punkt der Kurve. Da du schon die Kurvendiskussion erledigt hast, solltest du einen Wendepunkt an der Stelle
$$ W(0,-\frac { 1 }{ 3 }) $$
haben.
Jetzt suchst du eben die oben angesprochene Gerade. Du weißt, dass die Grundgleichung einer Geraden lautet:
$$ y=mx+b $$
Die Steigung m ergibt sich eben aus der dafür zuständigen Ableitung, nämlich der ersten. Diese ist
$$ f'(x)=\frac { 1 }{ 2 }x^2-\frac { 1 }{ 2 }=m_{f(x)} $$
Setzt du nun die x-Komponente deines Wendepunkts, nämlich x=0 in diese Gleichung ein, so erhältst du die Steigung der Kurve an der Stelle x=0, die auch die Steigung der Geraden ist, die dadurch verläuft:
$$ f'(0)=-\frac { 1 }{ 2 } =m$$
Da die x-Komponente deines Wendepunkts x=0 ist, wird seine y-Komponente direkt auf der y-Achse sein. Damit hast du auch schon b, deinen y-Achsenschnitt mit
$$ y(0)=f(0)=\frac { 1}{6 }(0)^3-\frac { x }{ 2 }(0)-\frac { 1}{ 3}=-\frac { 1 }{ 3 } $$
Damit lautet die Geradengleichung der Wendetangente
$$ y=-\frac { 1}{ 2 }x-\frac { 1 }{ 3 } $$
Die Normale dazu ist sehr einfach zu berechnen. Du brauchst lediglich nur die Wendetangentensteigung zu bilden und das Vorzeichen zu ändern. Im allgemeinen gilt für die Steigungen von Tangenten und deren Normalen:
$$ m_{norm}=-\frac { 1 }{ m_{tan}} $$
Somit ist die Normalengleichung:
$$ y=2x-\frac { 1 }{ 3 } $$
