wegen y = wurzel(a^2 - x^2) ist x^2 + y^2 = a^2 also (x,y) ein Punkt auf dem Kreis um 0 mit r=a.
und das äußere Integral geht von bis a (sagen wir mal a>0) dann ist das Integrationsgebiet
der Viertelkreis im 1. Quadranten also
x = r*cos(f) und y=r*sin(f) mit o<= r <= a und 0 <= f <= pi/2 also in Polarkoo:
das x und y in die Funktion eingesetzt und das *r vor dr df nicht vergessen:
$$\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { \int _{ 0 }^{ a }{ { r }^{ 3 } } } } *{ cos }^{ 2 }(f)\quad +\quad { r }^{ 4 }*{ sin }^{ 3 }(f)\quad dr\quad df\quad $$
Beim inneren Integral wird ja nur nach r integriert und die sin, cos _ Teile werden als Konstanten
betrachtet, also gibt das
$$\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \frac { { a }^{ 5 } }{ 5 } } { sin }^{ 3 }(f)\quad +\frac { { a }^{ 4 } }{ 4 } { cos }^{ 2 }(f)\quad df$$
hier zieht man ja besser erst mal das a^4 raus und dann gibt mit Hilfe geeigneter Formelsammlung,
Programmen etc.
als Stammfunktion - a^4/120*( ( -8a*sin^2(f) / 6 - 15sin(f) +16a ) * cos(f) -15f)
und für f=0 ist -2a^5/15 und für f=pi/2 gibt es a^4*pi/16
also insgesamt das Integral
= a^4*pi/16 + 2a^5 / 15
mit xy-Koordinaten
erst mal das innere Integral hat Stammfuktion y^4/4 + y*x^2 und wenn man die
Grenzen einsetzt gibt es x^2*wurzel(a^2-x^2)+(x^2-a^2)^2 / 4
also ist das äußere Integral jetzt dran. Da mache ich lieber zwei draus:
Das zweite ist einfach
Integral von 0 bis a über (x^2-a^2)^2 / 4 gibt 2a^5/15
Das erste ist wieder ziemlich wild mit der Stammfunktion
(1/8)* (a^4*arcsin(x/a)+x*(2x^2-a^2)*wurzel(a^2-x^2) )und für x=0
gibt das 0 und für x=a gibt es a^4*pi/16
also in der Tat das gleiche Ergebnis wie bei den Polarkoo.
