Lineare Abbildungen durch Fixelemente bestimmen

Question

hey Leute, ich bräuchte mal eure Hilfe bei einer Aufgabe.. ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Aufgabe: Es sei V= ℝ³ . Ermittle alle lineare Abbildungen δ ∈ L(V,V) mit den Fixelementen

          2                                          1

a₁ = ( 1 )           und             a₂ = (  0 ). 

        -1                                          2

ich danke für eure Hilfe jetzt schon.

Comments

Du kommst auch aus Ulm? :D

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ne ich komm nicht aus ulm wieso?

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wir haben beim aktuellen Übungsblatt genau die gleiche Aufgabe

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aso okay bei mir ist es eine Wiederholungsblatt :)

was hast du den raus bekommen?

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noch nichts...

Answer 1

eine lin. Abb ist durch die Bilder der Vektoren einer Basis bestimmt.
Ergänze also die beiden Fixvektoren zu einer Basis von R^3 z.B durch (0/1/0).
und lege für die 1. beiden Basisvektoren die Bilder durch
f(a1)=a1 und f(a2)=a2 fest.  für den 3. Kannst du dann irgendwas (a/b/c) festlegen.

Comments

okay das ich noch eine Basis zu den Fixelementen hinzufügen soll, dass hab ich verstanden, aber des was du danach geschrieben hast, hab ich leider nicht verstanden... kannst du mir das nochmal genauer erklären.

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du hast ja dann drei Basisvektoren  a1 und a2 und den neuen a3.

Definiere nun die Abb durch:   f(a1)=a1 und f(a2)=a2  und f(a3)=(a/b/c).

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also wenn ich die die 3 basisvekoren hab dann hab eine Matrix z.b. von

2   1   0

1   0   1

-1  2   0

dann habe ich die lineare Abbildungen

1. 2x₁ +1x₂

2. 1x₁ + 1x₃

3. -1x₁+2x₂

stimmt des so?

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Nein, die Matrix der lin. Abb bezieht sich - wenn nichts anderes gesagt

ist - auf die Standardbasis.  Also stehen in den Spalten die bilder der

Standardbasisvektoren.  

Du musst also z.B. für (1/0/0) erst mal eine Darstellung mit deiner

Basis bestimmen, etwa so

2x₁ +1x₂    =  1

  1x₁ + 1x₃  = 0

  -1x₁+2x₂   = 0

Das gibt x1=o.4   x2=0,2   x3=-o,4

Dann ist also f(1/0/0) = f (  0,4*a1 + 0,2*a2 - 0,4*a3) wegen linear also:

=0,4* f (a1) + 0,2*f(a2) - 0,4*f(a3)) und wegen der Def. von f also

=o,4*(2/1/-1) + o,2*(1/0/2) - 0,4*(a/b/c) = ( 1-0,4a / 0,4-0,4b / -c)

Das gibt die erste Spalte der gesuchten Matrix. Und so kannst du

es mit den anderen beiden Basisvektoren auch machen.

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ich hab mal noch eine frage also ich hab ja die beiden fixelemente a1 und a2, kann ich a3 einfach frei wählen oder muss ich des irgendwie ausrechnen.

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Die Aufgabe hieß ja " alle lin. Abb. ...."

Also kannst du nichts konkretes wählen, sondern musst bei sowas wie (a,b,c)

belassen. Egal was man als Bild des dritten Basisvektors wählt: Durch die

getroffene Festlegung der ersten beiden hast du immer die gewünschten

Fixvektoren. 

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also sind meine drei Basisvektoren a1=(2/1/-1),a2=(1/0/2) und a3=(a/b/c) und jetzt setzt ich sie zu standardbasis

z.b.  2x1+x2+ax3 =1

        1x1+0x3+bx3=0

        -1x1+2x2+cx3=0

oder?

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siehe meinen ersten Hinweis:

Ergänze also die beiden Fixvektoren zu einer Basis von R³ z.B durch (0/1/0). 

und:

du hast ja dann drei Basisvektoren  a1 und a2 und den neuen a3.

Definiere nun die Abb durch:   f(a1)=a1 und f(a2)=a2  und f(a3)=(a/b/c).

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also ich hab des so jetzt gerechnet

1. (1/0/0) = (1-4a/0,4-0,4b/-0,4c) = 0,4*(2/1/-1)+0,2*(1/0/2)+(-0,4)*(a/b/c)

2.(0/1/0)= (a/b/c) = 0*(2/1/-1)+0*(1/0/2)*1(a/b/c)

3.(0/0/1)=(0,2a/-0,2+0,2b/1+0,2c)=(-0,2)*(2/1/-1)+0,4*(1/0/2)+0,2*(a/b/c)

stimmt des so?? wie sieht dann meine Matrix aus??

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 Wenn ich das richtig verstanden habe, müsste die matrix dann so aussehen, oder?

    1-0,4b              a                0,2a

(   0,4-0,4b           b            -0,2+0,2b   )

        -c                  c              1+0,2c     

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*

    1-0,4a              a                0,2a

(   0,4-0,4b           b            -0,2+0,2b   )

        -c                  c              1+0,2c 

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Ja, ist soweit prima. Nur in der letzten Zeile
stimmt was nicht, denn wenn man die Matrix mit
(2/1/-1) multipliziert kommt nicht (2/1/-1) raus sondern (2/1/c-1)

Also sind die ersten beiden Zeilen richtig aber in der 3. ist wohl irgendwo ein
Rechenfehler. Möglicherweise auch in dem ersten Teil von mir :-).

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muss bei der ersten spalte nicht -0,4c rauskommen...

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Jawoll, dann klappt auch die Probe!

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okay gut :) danke für die Hilfe an alle :)