Hi,
die Dgl. nennt sich logistische Differentialgleichung und die Lösung kannst Du mittels Trennung der Variablen lösen. Die Lösung kannst Du hier nachlesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
Dabei musst Du aber die Anfangsbedingung kennen, also welchen Wert die Lösungsfunktion \( x(t) \) an der Stelle \( t = 0 \) annimmt.
In dem Link ist auch eine Lösung dargestellt, für spezielle Parameter.
Die vorgeschlagene Transformation \( u = x^{-1} \) benötigst Du nicht.