bestimme die Lösungsgesamtheit der logistischen Differentialgleichung y' = (1-y) y , ...

Question

Hallo ! Ich habe die folgende Aufgabe und habe mit Hilfe von trennung der Variablen gelöst.

Ich bekomme y = ( e^{c+x} ) / ( 1+ e^{c+x} )

Wie kann ich die Lösungsgesamtheit bestimmen ?

Hier ist die Aufgabe:

Comments

hat jemand eine Idee ?

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Loesungsgesamtheit ist die Menge aller Lösungen. Du hast da Lösungen angegeben. Sind das alle?

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ich habe nur durch Trennung der Variablen die Differentialgleichung gelöst und diese Lösung bekommen :

y = ( e^c+x ) / ( 1+ e^c+x )

aber ich weiß nicht , was ich weiter machen muss.

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Hast du https://www.mathelounge.de/353149/losungsgesamtheit-logistischen-differentialgleichung gesehen?

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In der Aufgabe sind nur Lösungen mit \(0<y(x)<1\) gefragt. Trotzdem verbleibt nach Angabe einer Lösungsschar noch zu zeigen, dass damit auch wirklich alle Lösungen gefunden sind. Das nur als Anregung, weil ueberhaupt nur die erste Antwort auf dieses Problem wenigstens ansatzweise eingeht.

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Du hast mit der Einschränkung natürlich recht. Werde meine diesbezüglichen  Kommentare, die das übersehen, deshalb löschen.

Answer 1

es sei \(y\) eine differenzierbare Funktion mit \(y'=(1-y)y\).
Definiere die Funktion \(h\) durch \(h(x)=\left(\tfrac1{y(x)}-1\right)\cdot e^x\). \(h\) ist differenzierbar und es gilt$$h'(x)=-\frac{y'}{y^2}e^x+\left(\frac1y-1\right)e^x=\left(-y'+y-y^2\right)\frac{e^x}{y^2}=0\cdot \frac{e^x}{y^2}=0.$$Es existiert also eine Konstante \(c\in\mathbb R\) mit \(h(x)=c\). Es folgt$$y(x)=\frac{e^x}{c+e^x}.$$Gruß

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was für eine Funktion ist diese h(x) ? woher kommt sie ?

Meine Lösung ist

y = ( e^c+x ) / ( 1+ e^c+x )

ist sie gleich deine   ?

Answer 2

Dein Ergebnis ist richtig, ich habe das auch erhalten durch Trennung der Variablen.

Du kannst das noch umformen, wenn Du willst , setze e^c= C_1 .

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Answer 3

(1) benutze die exkte Definition des Integrals und lass den Mist, irgendwo nach Lust und Laune ein +C hinzuschreiben.

Formal gilt hier

$$y' = g(x) h(y)$$

$$\int_{y_0}^y {1\over h(v)} dv = \int_{x_0}^x g(u) du$$

Setze g und h in die Forml ein, integriere beide Seiten, fasse alle Konstanten unter C0 = ... zusammen und bringe den Term auf eine vernünftige Form y = ...

(2) Du hast die konstanten Lösungen nicht berechnet: Es muss gelten

$$ h(y) = 0$$

Rechne die konstanten Lösungen aus, prüfe, ob und wie sie in der allgemeinen Lösung beinhaltet sind, oder ob sie nach den gegebenen Nebenbedingungen überhaupt gültig sind.

(3) Lass den Mist mit "Definiere die Funktion h ...". Man kann viel definieren, wenn der Tag lang ist. Wenn Du eine solche Definition machst, musst Du auch beweisen, warum gerade so und nicht anders definiert ist.

Grüße,

M.B.

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Seit wann muss man denn eine Definition beweisen?

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Hallo nn,

vom Prinzip muss man normalerweise nicht. Ich habe aber oben bereits geschrieben: "Wenn Du eine solche Definition machst, musst Du auch beweisen, warum gerade so und nicht anders definiert ist." Oder fällt diese Definiton gottgleich vom Himmel? Weil es ja überhaupt keine andere Möglichkeit gibt?

Grüße,

M.B.

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Danke für die Anwort . Kann jemand nur sagen was ist mit logisticher Differentialgleichung gemeint ?

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Hallo ibozadzhiev,

suche im Internet, da findest Du viele Antworten.

Grüße,

M.B.