Hi,
zu (a), die rechte Seite ist stetig differenzierbar und damit lipschitzstetig (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
zu (b)
Die Dgl. lautet ja
$$ \dot P(t) = \rho(P(t) \cdot P(t) $$ daraus folgt
$$ \frac {dP(t)}{P(t)} = \rho(P(t)\ dt $$ Daraus folgt durch Integration über t
$$ \ln(P(t) = \int_0^t \rho(P(t)\ dt + C $$
Damit gilt
$$ P(t) = e^{\int_0^t \rho(P(t)\ dt + C} \ge 0 $$
Zu (c)
Die Gleichung lautet nun mit dem speziellen \( \rho(P) = r - aP \)
$$ \dot P(t) = (r-a \cdot P(t) \cdot P(t) $$ Die Gleichung kann man durch Trennung der Variablen lösen, s. z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
Als Ergerbnis erhält man
$$ \ln(P) - \ln(r-aP) = r \cdot (t+C) $$ D.h.
$$ \frac{P}{r - aP} = e^{r(t+C)} $$ und daraus
$$ P(t) = \frac{r}{a+e^{-rt}\left( \frac{r}{P_0}-a \right)} $$
