vollständige Kurvendiskussion von gebrochenrationaler Funktion y = 4x^3/(10+2x)

Question

y = 4x³/(10+2x)

Berechnen sie die Tangentengleichung an der Stelle x =8

Answer 1

y = 4x³/(10+2x)

Ich berechne die Tangentengleichung an der Stelle x =8.

y '=2x²(2x+15)/(x+5)² y '(8)=3968/169. Berührpunkt B(8;1024/13).

Einsetzen in den Ansatz y=mx+b ergibt y=3968/169x -18432/169.

(Kompliment an der Erfinder der Aufgabe. Phantastische Zahlen!)

Comments

Hallo Roland,

Hinweis : es müssen ja nicht immer " schöne " Zahlen herauskommen
Ich habe in meinem 1.Berufsleben einmal Physiklaborant gelernt.
Dort kommen meist  " Meßwerte " in den Berechnungen vor.
Meßwerte sind auf einige Stellen genaue reelle Zahlen.
Mir sind also Berechnungen und Ergebnisse mit reellen
Zahlen völlig geläufig.

mfg Georg

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Hallo Georg, ich sehe ein, dass Physiker und Ingenieure keine genauen Zahlen brauchen. Aber Schülern das Weiterrechnen mit gerundeten Zahlen regelrecht anzutrainieren (viele kämen ohne Runden gar nicht voran) halte ich trotzdem für problematisch. Gruß Roland

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Hallo Roland,
umgekehrt suggerieren ganzzahlige Lösungen dem Schüler " Jetzt habe
ich richtig gerechnet ".

In der Finanzmathematik / Wirtschaft kommen die meisten Ergebnisse auch
als reelle Zahlen heraus.

mfg Georg

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Hallo Georg, mit diesem Satz hast du vollkommen recht: "Umgekehrt suggerieren ganzzahlige Lösungen dem Schüler :  'Jetzt habe ich richtig gerechnet' ". Der überwiegende Teil der Schüler heutiger Prägung hält leider Taschenrechnerergebnisse grundsätzlich für richtig. Was ich wichtig finde, ist die Vermittlung einer grundsätzlichen Skepsis gegenüber TR-Ergebnissen. Dazu gehört auch, dass davor gewarnt wird, mit gerundeten Ergebnissen weiter zu rechnen.

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Ich habe noch mit Logarithmentafeln und Rechenschieber gerechnet.
Taschenrechner sind aber schon ein deutlicher Fortschritt gewesen.

Mein Taschenrechner rechnet mit 10 Stellen.
Oben genannte Hilfsmittel hatten 3 - 4 Stellen Rechengenauigkeit ( ? )

Ich habe meinen Taschenrechner seit vielleicht 20 Jahren.
Fehlergebnisse aufgrund von z.B. internen Rundungen durch
den Rechner sind keine auffällig geworden und sind auch wohl
absolute Ausnahmen.

Taschenrechner und CAS-Programm möchte ich zur Arbeitserleichterung
also nicht mehr missen.

Im übrigen verweise ich auf die sogenannte " Probe " eines gefundenen
Ergebnisses. Einsetzung des Ergebnisses in die Ausgangsgleichung.

Wenn hier gefragt wird " Ist mein Ergebnis richtig ? " kann z.B. bei dieser
Aufgabe einfach eine Grafik der beiden Funktionen gezeichnet werden
bzw. gezeichnet werden lassen.

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Wenn die Antwortgeber - und ich schließe mich selbst da ein - keine Matheprogramme hätten, die ihnen die Brüche direkt ausrechnen, würden sie mit Sicherheit auch mit gerundeten Dezimalwerten rechnen :-)

Answer 2

y = 4x³/(10+2x)

Erst mal 2 im Nenner ausklammern und kürzen gibt

y = 2x³/(5+x)  .  Dann mit Quotientenregel:

y ' = f ' (x) = ( 4x³ + 30x² ) /  ( x+5)²

Berechnen sie die Tangentengleichung an der Stelle x =8f ' (8) = 3968/169  ≈  23,5