Determinante der rationalen 4x4 Matrizen bestimmen. Auf Zeilen-stufen-form bringen.

Question

wie kann man die Determinante der rationalen 4x4 - Matrix berechnen , in dem man die Matrix mit dem Gauß-Algorithmus auf Zeilen-Stufen-Form bringe

C     =      1    3   -1   4

2    5   -1   3

0    4   -3    1

-3    1   -5   -1

Comments

Wenn du die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht hast ist die Determinante kein Problem mehr. Sie springt dir förmlich ins Auge.

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wie kann ich denn die Matrix auf Zeilenstufenform bringen ?

muss ich in 2 zeile 1 spalte , in 3 zeile 1 und 2 spalte , und 3 zeile 1 ,2 und 3 spalte überall ein null haben ?

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https://www.matheretter.de/wiki/gaussverfahren

Du solltest den Gauss Algorithmus anwenden können und versuchen unterhalb der HauptDiagonalen der Matrix durch erlaubte Umformungen Nullen zu erzeugen.

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Hallo sigma , ich habe leider nicht geschafft die Nullen zu erzeugen :( könntest du mir bitte bisschen helfen ?

und was soll man machen nach dem man die Nullen erzeugt hat ?

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Also die Zeilen-Stufen-Form habe ich jetzt     1  3   -1  4

0  -1   1  -5

0   0   1  -19

0   0   0  168

Wie berechne ich jetzt die Determinante?

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könntest du mir zeigen bzw. erklären wie du auf das Egrbniss gekommen bist ?

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momo:) Wenn das richtig gerechnet war, rechnest du jetzt

Det(A) = 1*(-1)*1*168 ) = -168.

Gemäss https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28%281+%3B+++3%3B+++-1%3B+++4%29%3B%28+++++++++++++++++++2++%3B++5+%3B++-1+%3B++3+%29%3B+%28++0+%3B+++4+%3B++-3+%3B+++1%29+%3B+%28+-3+%3B++1+%3B++-5+%3B++-1%29%29

ist die Determinante 1. D.h. dein 168 sollte vielleicht (-1) sein.

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Dank dir Lu :D

Achso, also ist die Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen

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In Dreiecksmatrizen schon. Aber rechne besser nochmals nach.

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Bei einer Umformung der Matrix ändert sich die Determinante nur dann nicht, wenn ein Vielfaches einer Zeile (oder Spalte) zu einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert wird. Einfach nur irgendwie Zeilenstufenform herstellen und dann über die Diagonale multiplizieren ist also i.A. nicht richtig.

Answer 1

Determinante wie schon gesagt Produkt der Hauptdiagonalen.

Zur Überprüfung nochmal untere und obere Dreiecksmatrix. Du kannst ja gern zur Übung noch eine untere Dreiecksmatrix erzeugen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+LU+Decomposition+%7B%7B1%2C3%2C-1%2C4%7D%2C%7B2%2C5%2C-1%2C3%7D%2C%7B0%2C4%2C-3%2C1%7D%2C%7B-3%2C1%2C-5%2C-1%7D%7D

Comments

die Determinante  C = 1 * (-1) * (1) * (-1) = 1

ist das richtig ?