2 1 0 4
2 3 0 2 := A ( 1 )
3 4 2 0
0 1 -1 1
Ich bilde die Inverse; im Zeitalter des Matrizenrechners
https://matrixcalc.org/de/#{{2,1,0,4},{2,3,0,2},{3,4,2,0},{0,1,-1,1}}^2
verfolge ich folgende Strategie. Jede Martrix löst ihre eigene Säkulardeterminante. Diese ist bekanntlich vom 4. Grade
A ^ 4 + a3 A ³ + a2 A ² + a1 A + a0 * 1| = 0 | * A ^ -1 ( 2a )
A ³ + a3 A ² + a2 A + a1 * 1| + a0 A ^ -1 = 0 ( 2b )
In ( 2a ) bestimmen wir diese Koeffizienten.
6 9 -4 14
10 13 -2 16 = A ² ( 3a )
20 23 4 20
-1 0 -3 3
18 31 -22 56
40 57 -20 82
98 125 -12 146 = A ³ ( 3b )
-11 -10 -9 -1
32 79 -100 190
134 213 -122 356 = A ^ 4 ( 3c )
410 571 -170 788
-69 -78 -17 -65
Ich entwickle ( 2a ) für Matrixelement ( 1 ; 3 ) weil dann der Beitrag von A unterdrückt wird.
2 a2 + 11 a3 = ( - 50 ) ( 4a )
Jetzt ( 4 ; 1 )
a2 + 11 a3 = ( - 69 ) ( 4b )
a2 = 19 ; a3 = ( - 8 ) ( 4c )
Auf a3 hast du eine Probe; die Eigenwerte von A sind ja die Wurzeln von ( 2a ) Aus dem Satz von Vieta
a3 = - ( E1 + E2 + E3 + E4 ) = - Sp ( A ) ( 5 )
Jetzt ( 4 ; 2 )
a1 - 10 a3 = a1 + 80 = 78 ===> a1 = ( - 2 ) ( 6 )
( Probe auf alle Nebendiagonalelemente ( NDE ) )
Mit ( 4 ; 4 ) bestimmen wir a0
a0 + a1 + 3 a2 - a3 = 65 ===> a0 = 2 ( 7a )
Für diejenigen, die so fleißig waren, die Determinante abzufieseln. Abermalen Vieta
a0 = E1 E2 E3 E4 = det ( A ) ( 7b )