0 Daumen
1,7k Aufrufe

Bild Mathematik

det(A) habe ich berechnet und kommt 2 bei mir raus. det(-2A) ist gleich -2 * det(A)? Dann also det(-2A)=-4, stimmt das?

Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

So aufwendig, wie tidus1915 vorgeschlagen hat, braucht man es nicht zu machen:
Wenn \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) und \(a\in\mathbb{R}\) ist, dann gilt: \(\det(aA)=a^n\cdot \det(A)\). Man muss damit nur eine Determinante ausrechnen (was wohl auch der Sinn der Aufgabe ist).

Avatar von

Genau so habe ich auch gemacht.

Wieso kommt dann bei dir \(\det(-2A)=-4\) raus, wenn du es genauso gemacht hast?

Ich dachte dass det(-2A)=-2 * det(A). Aber ich habe nacher die formel a^n * det(A) gefunden. Jetzt stimmt's bei mir auch, danke!

Achso, OK. :-)

Dieser Exponent kommt so zustande: Wenn du eine Zeile einer Matrix mit einem Faktor multiplizierst, dann ändert sich auch die Determinante um diesen Faktor. Wenn du eine \(n\times n\)-Matrix mit einem Faktor multiplizierst, ist das ja dasselbe, wie wenn du jede der \(n\) Zeilen mit diesem Faktor multiplizierst. Deswegen ändert sich die Determinante um die \(n\)-te Potenz dieses Faktors.

0 Daumen

es ist $$ det(-2A) = 32$$ nach meiner Rechnung

Avatar von

Und wie hast du es berechnet bitte?

Matrix mit -2 multiplizieren und determinante ausrechnen.

0 Daumen


                             2    1     0    4
                            2    3     0    2        :=   A      (  1  )
                            3    4     2    0
                            0    1    -1    1

Ich bilde die Inverse; im Zeitalter des Matrizenrechners

https://matrixcalc.org/de/#{{2,1,0,4},{2,3,0,2},{3,4,2,0},{0,1,-1,1}}^2

verfolge ich folgende Strategie. Jede Martrix löst ihre eigene Säkulardeterminante. Diese ist bekanntlich vom 4. Grade

 

        A  ^  4  +  a3  A  ³  +  a2  A  ²  +  a1  A  +  a0  *  1|  =  0  |  *  A  ^ -1         (  2a  )

         A  ³  +  a3  A  ²  +  a2  A  +  a1  *  1|  +  a0  A  ^ -1  =  0         (  2b  )

 

          In ( 2a )  bestimmen wir diese Koeffizienten.

 

 


                                  6     9    -4    14
                                 10    13    -2    16       =  A  ²         (  3a  )
                                 20    23     4    20
                                 -1     0    -3     3


                                               18     31    -22     56
                                               40     57    -20     82
                                               98    125    -12    146        =  A  ³     (  3b  )
                                             -11    -10     -9     -1


                                             32     79    -100    190
                                          134    213    -122    356     =  A  ^  4         (  3c  )
                                         410    571    -170    788
                                       -69    -78     -17    -65

Ich entwickle ( 2a ) für Matrixelement ( 1 ; 3  ) weil dann der Beitrag von A unterdrückt wird.

2  a2  +  11  a3  =  (  -  50  )      (  4a  )

 

      Jetzt  ( 4 ; 1 )

 

               a2  +  11  a3  =  (  -  69  )       (  4b  )

                a2  =  19  ;  a3  =  (  -  8  )     (  4c  )

Auf a3 hast du eine Probe; die Eigenwerte von A sind ja die Wurzeln von  ( 2a ) Aus dem Satz von Vieta

a3  =  -  (  E1  +  E2  +  E3  +  E4  )  =  -  Sp  (  A  )     (  5  )

Jetzt  ( 4 ; 2 )

a1  -  10  a3  =  a1  +  80  =  78  ===>  a1  =  (  -  2  )     (  6  )

( Probe auf alle Nebendiagonalelemente ( NDE ) )

Mit ( 4 ; 4 ) bestimmen wir a0

a0  +  a1  +  3  a2  -  a3  =  65  ===>  a0  =  2     (  7a  )

Für diejenigen, die so fleißig waren, die Determinante abzufieseln. Abermalen Vieta

a0  =  E1  E2  E3  E4  =  det  (  A  )     (  7b  )

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community