Vektoren, Determinante und die Überführung

Question

Text erkannt:

Sei \( K \) ein kommutativer Ring, \( n \in \mathbb{N}_{0} \) und \( u, v \in K^{n} \). Wie üblich fassen wir oft \( u \) und \( v \) in der offensichtlichen Weise als Elemente von \( K^{n \times 1} \) auf (, ,Spaltenvektoren \( ^{\prime \prime} \) ). Zeige:
(a) Die folgenden beiden Matrizen aus \( K^{(n+1) \times(n+1)} \) kann man durch mehrfaches Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile und einer Spalte zu einer anderen Spalte ineinander überführen:
\( \left(\begin{array}{cc} I_{n}+u v^{T} & u \\ 0 & 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad\left(\begin{array}{cc} I_{n} & 0 \\ -v & 1+v^{T} u \end{array}\right) \)
(b) \( \operatorname{det}\left(I_{n}+u v^{T}\right)=1+v^{T} u \)
(c) Ist \( A \in K^{n \times n} \) invertierbar, so
\( \operatorname{det}\left(A+u v^{T}\right)=(\operatorname{det} A)\left(1+v^{T} A^{-1} u\right) \)

Aufgabe:

Das hochgestellte T ist die Transponierte Matrix

Problem/Ansatz:

Hallo, wir haben ein Problem zum Lösen dieser Aufgabe. Kann und jemand weiterhelfen?

Vielen lieben Dank im Voraus!!

Comments

Meiner Meinung nach muss es in der zweiten Matrix

\(-v^T\) statt \(-v\) heißen ...

Answer 1

Zu (a):

Die linke Matrix heiße \(P\), die rechte \(Q\). Mit ein bisschen

(zielführender) Experimentiererei bekommt man

\(PLR=Q\) mit den Dreiecksmatrizen \(L\) und \(R\):$$L=\left(\begin{array}{cc}I_n&0\\-v^T&1\end{array}\right)\text{  und } R=\left(\begin{array}{cc}I_n& -u\\0&1\end{array}\right)$$Diese beiden Matrizen haben die Determinante 1. Daher ist

\(\det(Q)=\det(P)\det(L)\det(R)=\det(P)\).

Zu (b):

\(P\) und \(Q\) sind Blockmatrizen, deren Determinanten das

Produkr der Determinanten der Diagonalblöcke sind (wegen

der rechteckigen 0-Blöcke).

Mit (a) bekommt man dann leicht die Behauptung.

Answer 2

ist das gut erklärt?