Determinante 4x4 bestimmen

Question

det(A) habe ich berechnet und kommt 2 bei mir raus. det(-2A) ist gleich -2 * det(A)? Dann also det(-2A)=-4, stimmt das?

Answer 1

So aufwendig, wie tidus1915 vorgeschlagen hat, braucht man es nicht zu machen:
Wenn \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) und \(a\in\mathbb{R}\) ist, dann gilt: \(\det(aA)=a^n\cdot \det(A)\). Man muss damit nur eine Determinante ausrechnen (was wohl auch der Sinn der Aufgabe ist).

Comments

Genau so habe ich auch gemacht.

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Wieso kommt dann bei dir \(\det(-2A)=-4\) raus, wenn du es genauso gemacht hast?

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Ich dachte dass det(-2A)=-2 * det(A). Aber ich habe nacher die formel a^n * det(A) gefunden. Jetzt stimmt's bei mir auch, danke!

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Achso, OK. :-)

Dieser Exponent kommt so zustande: Wenn du eine Zeile einer Matrix mit einem Faktor multiplizierst, dann ändert sich auch die Determinante um diesen Faktor. Wenn du eine \(n\times n\)-Matrix mit einem Faktor multiplizierst, ist das ja dasselbe, wie wenn du jede der \(n\) Zeilen mit diesem Faktor multiplizierst. Deswegen ändert sich die Determinante um die \(n\)-te Potenz dieses Faktors.

Answer 2

es ist $$ det(-2A) = 32$$ nach meiner Rechnung

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Und wie hast du es berechnet bitte?

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Matrix mit -2 multiplizieren und determinante ausrechnen.

Answer 3

                             2    1     0    4
                            2    3     0    2        :=   A      (  1  )
                            3    4     2    0
                            0    1    -1    1

Ich bilde die Inverse; im Zeitalter des Matrizenrechners

https://matrixcalc.org/de/#{{2,1,0,4},{2,3,0,2},{3,4,2,0},{0,1,-1,1}}^2

verfolge ich folgende Strategie. Jede Martrix löst ihre eigene Säkulardeterminante. Diese ist bekanntlich vom 4. Grade

 

        A  ^  4  +  a3  A  ³  +  a2  A  ²  +  a1  A  +  a0  *  1|  =  0  |  *  A  ^ -1         (  2a  )

         A  ³  +  a3  A  ²  +  a2  A  +  a1  *  1|  +  a0  A  ^ -1  =  0         (  2b  )

 

          In ( 2a )  bestimmen wir diese Koeffizienten.

 

 

                                  6     9    -4    14
                                 10    13    -2    16       =  A  ²         (  3a  )
                                 20    23     4    20
                                 -1     0    -3     3

                                               18     31    -22     56
                                               40     57    -20     82
                                               98    125    -12    146        =  A  ³     (  3b  )
                                             -11    -10     -9     -1

                                             32     79    -100    190
                                          134    213    -122    356     =  A  ^  4         (  3c  )
                                         410    571    -170    788
                                       -69    -78     -17    -65

Ich entwickle ( 2a ) für Matrixelement ( 1 ; 3  ) weil dann der Beitrag von A unterdrückt wird.

2  a2  +  11  a3  =  (  -  50  )      (  4a  )

 

      Jetzt  ( 4 ; 1 )

 

               a2  +  11  a3  =  (  -  69  )       (  4b  )

                a2  =  19  ;  a3  =  (  -  8  )     (  4c  )

Auf a3 hast du eine Probe; die Eigenwerte von A sind ja die Wurzeln von  ( 2a ) Aus dem Satz von Vieta

a3  =  -  (  E1  +  E2  +  E3  +  E4  )  =  -  Sp  (  A  )     (  5  )

Jetzt  ( 4 ; 2 )

a1  -  10  a3  =  a1  +  80  =  78  ===>  a1  =  (  -  2  )     (  6  )

( Probe auf alle Nebendiagonalelemente ( NDE ) )

Mit ( 4 ; 4 ) bestimmen wir a0

a0  +  a1  +  3  a2  -  a3  =  65  ===>  a0  =  2     (  7a  )

Für diejenigen, die so fleißig waren, die Determinante abzufieseln. Abermalen Vieta

a0  =  E1  E2  E3  E4  =  det  (  A  )     (  7b  )