Wieviel bekommt Dickens für einen Roman mit 40000 Wörtern? (Integralrechnung)

Question

Aufgabe:

Es wird behauptet, dass Charles Dickens von seinem Verleger nach der Länge seiner Romane bezahlt wurde, und zwar erhielt er 1 Penny pro Wort. Mathematisch ausgedrückt wäre das \( \int \limits_{0}^{L} 1 d w \), wobei \( L \) die Anzahl der Wörter ist.

Nehmen wir an, dass er nach einer komplizierteren Formel \( \int \limits_{0}^{L} f(w) d w \) bezahlt worden wäre, und zwar mit der Funktion

\( f(w)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2}+\frac{w}{2000} & , 0 \leq w \leq 2000 \\ \frac{3}{2} & , 2000 \leq w \leq 20000 \\ \frac{3}{2} e^{20-\frac{2}{1000}} & , w \geq 20000 \end{array}\right. \)

(a) Wieviel bekommt Dickens für einen Roman mit 40000 Wörtern?

(b) Ist es lohnender für ihn, einen Roman mit 30000 Wörtern anstatt 2 mit 15000 Wörtern zu schreiben?

Comments

Hallo die Funktion ist abhängig von der Wortanzahl definiert. Wenn wir die Funktionen \(f_1\),\(f_2\), \(f_3\) nennen, dann ist bei a) gesucht:
$$ \int \limits_{0}^{40000} fdw = \int \limits_{0}^{2000} f_1dw + \int \limits_{2000}^{20000} f_2dw+ \int \limits_{20000}^{40000} f_3dw $$

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@yakyu
Das dachte ich zunächst auch.
Dies widerspricht aber der Definition

Beispiel : für f ( 15000 ) gilt f ( 15000 ) = 3 / 2. Finito
Stammfunktion : 3 / 2 * w

Sonst müßte man schreiben
der Bereich <= 2000 wird mit Formel1 vergütet
der Bereich 2000 < w < 20000 wird mit Formel2 vergütet
der Bereich w >20000 wird mit Formel3 vergütet

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Die Vergütungsfunktion ist aber nicht \(f(w)\), sondern \(V(L)=\int_{0}^{L}f(w)\,\text{d}w\).

Answer 1

Ich gehe einmal davon aus das du
∫₀^L 1 dw = [ w ]₀^L = L - 0 = L Verstanden hast
Für 500 Wörter bekommt Dickens
∫₀⁵⁰⁰ 1 * dw = [ w ]₀⁵⁰⁰ = 500 - 0 = 500 Pennies

Du hast es nun mit einer geteilten Funktion zu tun
Für 40 000 Wörter gilt die 3.Formel

∫₀⁴⁰⁰⁰⁰ 3/2 * e^{20-w/1000} dw
Stammfunktion
3 / 2 * ( -1000 ) * e^{20-w/1000}

3 / 2 * ( -1000 ) * [ e^{20-w/1000} ]₀⁴⁰⁰⁰⁰
3 / 2 * ( -1000 ) * [ e^{20-40000/1000} - e^{20-0/1000} ]
3 / 2 * ( -1000 ) * [ e^{20-40} - e^{20} ]
3 / 2 * ( -1000 ) * [ e^{-20} - e^{20} ]

7.3 * 10^11
Dies wäre ein bißchen viel. 730 Milliarden Pennies.
Ich kann allerdings keinen Fehler bei mir finden und
breche deshalb hier ab.

Comments

dann mache ich einmal weiter^. Die Stammfunktionen sind

∫ 1/2 + w / 2000 dw = 1/2 * w + w^2 / 4000
3 / 2 * w
3/2 * ( -1000 ) * e^20-w/1000

Es ergibt sich
2000 + 27000 + 1500

30500 

b.)

1 * 30000 Wörter =
2000 + 27000 + 1500 = 30500

2 * 15000 Wörter =
( 2000 + 19500 ) * 2 = 43000

Die Formel für den 3.Bereich kommt mir merkwürdig vor
Von 20000 bis ... gibt es eine Entlohnung von
21000 : 948
22000 : 1297
25000 : 1490
30000 : 1500
35000 : 1500
40000 : 1500

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Einen augenblick bitte. Wie kommst du jetzt von 7.3 *10 auf die 11 auf 30500???

Da hast du mich verloren.

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Ab
Du hast es nun mit einer geteilten Funktion zu tun
Für 40 000 Wörter gilt die 3.Formel 

stimmt meine 1.Antwort nicht mehr.
( siehe die anderen Kommentatoren )
Deshalb brauchen wir uns darüber nicht mehr zu unterhalten.

Richtig wirds dann ab
dann mache ich einmal weiter^. Die Stammfunktionen sind

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ahaaaaaa, also sol ich die alle drei funktionen machen. Die erste geht von 0 bis 2000, die zweite von 2000 bis 20 000 und die dritte geht von 20 bis 40 tausend.

Und dan addiert man alles. DANKE!