Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen 2 Funktionen?

Question

\( f(x)=x-2, \quad g(x)=\left\{\begin{array}{ll}4-x^{2} & , x \leq 1 \\ \frac{1}{2} x+\frac{5}{2} & , x>1\end{array}\right. \)

Also ich habe verstanden dass man das so macht:

- x-2=4-x²
- dann: x-2-4+x²=0
- dann kommt die Diskriminanten formel und dann hast du die untergrenze (-3) und obergrenze (2).
- die grenzen stellt man in die formel "4-x²" (vorher integrieren) und dann bekommt man 25/3.
- dann stellt man die grenzen in x-2 (forher integrieren) und dan bekommt man -25/2
- dann geht: (25/3) - (-25/2) = "125/6" (die oberfläche)

jetzt verstehe ich nicht was ich mit 1/2*x + 5/2 mahen soll.

Answer 1

Du machst einen Fehler bei dem Integral der Funktion g (x).

Deine  Funktion g ist, nur für x=< 1 als 4-x^2 definiert.

Wenn x größer als 1 ist, nimmt deine Funktion den Term : 1/2x +5/2 an.

Also g(x) ist so eine Art "zusammengeschnibbelte" Funktion aus 2 verschiedenen Funktionen.

Du machst im Prinzip das selbe wie du schon geschildert hast ,nur musst du noch mit einbeziehen,dass deine Funktion g für x<1 anders aussieht.

Das Integral von f(x) bleibt gleich .

Bei g(x) berechnet sich das Integral von -3 bis 2 in zwei Teilen:

Einmal das Integral von -3 bis 1 von 4-x^2

Und das Integral von 1 bis 2 von 1/2x+5/2.

Die beiden Integrale addierst du und du hast das Integral von -3 bis 2 von g(x).

Comments

Also eigentlich ist bei 1/2*x + 5/2 x>1 (also x größer als 1) also soll ich die ober und unter grenze beide malle 2 nehmen??

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Ich verstehe deine Frage jetzt nicht so wirklich.

Das Integral von g setzt sich aus zwei Funktionen zusammen. Schau dir einfach mal das Bild an,das georgborn unten gepostet hat von dem Graphen.

Du bildest, wenn du das Integral von g haben möchtest (Untegrenze -3 ,Obergrenze 2 ) das Integral so :
Integral von -3 bis 1 von 4-x² + Integral von 1 bis 2 von 1/2*x + 5/2 = Integral von g von -3 bis 2.

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ok ja, hab einen fehler gemacht. jetzt  ergibt es einen sin. Danke nochmall

Answer 2

Leider ist der Sachverhalt nicht ganz so einfach.
Anbei eine Skizze.


f ist die blaue Kurve.
Rot ist der 1.Teil der gesplitteten Funktion g = 4 - x^2.
Die Schnittpunkte sind -3 und 2.
Aber die Funktion gilt nur bis 1.
Dann folgt g = 1/2 * x + 5/2
Das heißt : du mußt die Fläche zwischen
- 3 und 1 zwischen blau und rot bilden
und
- 1 und dem Schnittpunkt zwischen blau und grün bilden
Schnittpunkt
x - 2 = 1/2 x + 5/2

Beim Integrieren bildest du zunächst die Differenzfunktion
f - g und dann die Stammfunktion
∫ f - g dx
und setzt dann die Schnittpunkte ( integrationsgrenzen ) ein.
Du machst 2 Rechnungen. Je für 1 Bereich.

Soviel zunächst. Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg