Flächeninhalt zwischen zwei (einfachen) Funktionen

Question

Aufgabe:Flächeninhalt bestimmen zwischen 2 Funktionen

f(x)=-x²+4x+1

g(x)=2x-2

Problem/Ansatz:

Schnittstellen: x=3 und x=-1

Nullstellen von f(x): x=2+\( \sqrt{5} \) und x=2-\( \sqrt{5} \)

Nullstellen von g(x): x=1

Ich bin mir nicht sicher, wie ich den Flächeninhalt (auf eine effiziente Weise) ausrechnen kann. Normalerweise bestimmt man ja die Schnittstellen und bildet den Betrag der Differenzfunktion.

Hier liegt die Schnittfläche jedoch sowohl über als auch unter der x-Achse. Ein Online-Rechner bildet zwar auch eine Differenzfunktion und macht das genauso, jedoch kann ich mir nicht erklären, wie das wirklich funktionieren soll, weil ja immer die Flächenbilanz gebildet wird.

Answer 1

d(x) = f(x) - g(x) = (- x^2 + 4·x + 1) - (2·x - 2) = - x^2 + 2·x + 3

D(x) = - 1/3·x^3 + x^2 + 3·x

d(x) = 0 --> x = -1 ∨ x = 3

∫ (-1 bis 3) d(x) dx = D(3) - D(-1) = 9 - (-5/3) = 32/3 = 10.67

Answer 2

Normalerweise bestimmt man ja die Schnittstellen und bildet den Betrag der Differenzfunktion.

In nicht-normalen Fällen macht man das auch so.

Hier liegt die Schnittfläche jedoch sowohl über als auch unter der x-Achse.

Irrelevant.

wie das wirklich funktionieren soll

        \(f_1(x) = x^2\)

        \(g_1(x) = x\)

Schnittstellen sind 0 und 1. Flächeninhalt ist

        \(\int\limits_0^1 \left(f_1(x)-g_1(x)\right)\,\mathrm{d}x\).

Andere Funktionen:

        \(f_2(x) = x^2 - \frac{1}{2}\)

        \(g_2(x) = x - \frac{1}{2}\)

Die Funktionen \(f_1\) und \(g_1\) wurden um \(\frac{1}{2}\) nach unten verschoben. Das ändert nichts an dem Flächeninhalt. Also ist der Flächeninhalt zwischen \(f_2\) und \(g_2\) ebenfalls

        \(\int\limits_0^1 \left(f_1(x)-g_1(x)\right)\,\mathrm{d}x\).

Außerdem gilt

        \(f_1(x)-g_1(x) = f_2(x)-g_2(x)\)

für jedes \(x\). Also ist der Flächeninhalt auch

      \(\int\limits_0^1 \left(f_2(x)-g_2(x)\right)\,\mathrm{d}x\).