Aufgabe:
Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) eine Abbildung mit der Abbildungsvorschrift
\( f\left(\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]\right)=x_{1} \cdot\left[\begin{array}{c} k_{1} \\ 0 \end{array}\right]+x_{2} \cdot\left[\begin{array}{c} 0 \\ k_{2} \end{array}\right] \quad \text { mit } k_{1} \cdot k_{2} \neq 0 \)
(a) Weisen Sie nach, dass \( f \) eine lineare Abbildung ist.
(b) Stellen Sie \( f \) in der Form \( f(x)=A x \) dar.
(c) Zeigen Sie: Das Bild einer Geraden \( g \) unter der linearen Abbildung \( f \) ist wieder eine Gerade \( g^{\prime} \).
(Tipp: Setzen Sie die Gerade \( g \) als \( x=c+\lambda u \) mit \( \lambda \in \mathbb{R} \) sowie \( c, u \in \mathbb{R}^{2} \) an)
(d) Wir wählen \( k_{1}=2,5 \) und \( k_{2}=-3 \). Nun betrachten wir die Gerade \( g \) mit der Geradengleichung
\( g:\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right]+\lambda\left[\begin{array}{r} -1 \\ 5 \end{array}\right] \quad(\text { mit } \lambda \in \mathbb{R}) \)
Bestimmen Sie die Gleichung der Bildgeraden \( g^{\prime} \).
(e) Zeichnen Sie die Geraden \( g \) und \( g^{\prime} \) aus Teil (d) in ein Koordinatensystem ein.
