Wie berechnet man die Richtungsableitung von einer Funktion an der Stelle vec{x} in Richtung vec{v}?

Question

Aufgabe (Funktionen von mehreren Variablen):

1. Unter welchen Voraussetzungen gilt \( f_{x y}(x, y)=f_{y x}(x, y) ? \)

2. Wie berechnet man die Richtungsableitung von einer Funktion \( f \) an der Stelle \( \vec{x} \) in Richtung \( \vec{v} ? \)

3. In welche Richtung fällt eine differenzierbare Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) am stärksten? Wie groß ist die Änderungsrate?

Answer 1

zu 1)

Beispiel: f(x,y) = x*y

fx = y

fy = x

fxy = 1

fyx = 1

-> fxy = fyx

Aus dem Satz von Schwarz folgt, dass zwei höhere partielle Ableitungen einer Funktion z = f(x,y) gleich sind, wenn alle auftretenden Ableitung stetig sind sowie wenn die Anzahl der Differentiationen nach x und die Anzahl der Differentiationen nach y in beide Richtungen übereinstimmen.

zu 2)

Hier muss man allgemein ein Schema beachten:

-  Bestimme den Gradienten der Funktion f (alle ersten partiellen Ableitungen)

-  Berechne  deren Werte an der Stelle Vektor x

-  Falls nötig, bring den Vektor v, der die Richtung angibt, in Normalform (Länge 1)

- Bilde das Skalarprodukt des Gradienten an der Stelle x mit dem Richtungsvektor.

zu 3) bin mir aus dem Bauch heraus nicht so sicher, aber die Richtung müsste entgegengesetzt zum Gradienten fallen, da ja der Gradient an sich den steilsten Anstieg darstellt.