Herleitung Kreuzprodukt_Beziehung zum Sinus

Question

ich habe folgendes Problem, und zwar soll ich beweisen, dass folgende Gleichung stimmt:


|axb|=|a|⋅|b| *sinµ


Leider komme ich nicht wirklich drauf. Ich habe mir folgende Tipps schon geben lassen aber so richtig weiß ich es noch nicht.


1. |axb|2=|a|2⋅|b|2−(a⋅b)2

und die Gleichung des Skalarproduktes:

2. a⋅b=|a|⋅|b|⋅cos µ


ich hab Versucht die Gleichung des Skalarproduktes (2.Gleichung) in meine 1. Gleichung einzusetzen:


|axb|2=|a|2⋅|b|2−|a|2⋅|b|2 *cosµ

um auf sinus zu kommen, kann ich den kosinus ersetzen:

sin2 µ =1−cos2 µ


aber wie gesagt so wirklich auf den grünen Zweig komme ich leider nicht.

Kann mir jemand weiterhelfen?


Vielen Dank schonmal

Answer 1

ich hab Versucht die Gleichung des Skalarproduktes (2.Gleichung) in meine 1. Gleichung einzusetzen:


|axb|2=|a|2⋅|b|2−|a|2⋅|b|2 *cosµ      Hier hast du das "hoch 2" beim cos vergessen
also so :

|axb|2=|a|2⋅|b|2−|a|2⋅|b|2 *cos^2 µ        #

um auf sinus zu kommen, kann ich den kosinus ersetzen:

sin2 µ =1−cos2 µ      gute Idee aber besser so:   1  -   sin² µ =cos² µ
und das in # einsetzen gibt

|axb|2=|a|2⋅|b|2−|a|2⋅|b|2 * (  1  -   sin² µ )   =   |a|²⋅|b|² * sin² µ

und da der sin im Bereich von 0 bis 180° nicht negativ ist, kannst du jetzt die

Wurzeln ziehen und hast   |axb|=|a|⋅|b| *sinµ