Aufgabe:
Es sei \( R=\mathbb{Z}[i \sqrt{5}]=\{a+i \sqrt{5} b \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{C} \).
(i) Bestimmen Sie alle Teiler von \( 2, ~ 6, ~ (1+i \sqrt{5}) \) und \( 2(1+i \sqrt{5}) \).
(ii) Zeigen Sie, dass \( 6 \) und \( 2(1+i \sqrt{5}) \) in \( R \) keinen größten gemeinsamen Teiler besitzen. (Hinweis: Benutzen Sie das Betragsquadrat \( |z|^{2}=a^{2}+5 b^{2} \) für ein Element \( a+i \sqrt{5} b \in R \) ).
Ansatz/Problem:
Ich werde mal die Teiler von \( 1+i√5 \) berechnen.
Allgemein gilt \(x\) teilt \(z\), wenn ein \( y∈R\) existiert mit \( z= x·y\). So folgt \( |z|= |x·y|=|x|·|y|\) und damit \( |z|^2= |x|^2·|y|^2\).
Für \( z=1+i√5 \) gilt also \( |z|^2=1^2+5=6=|x|^2·|y|^2\). Durch faktoriseren erhält man \( |6|=|1|·|6| \) und \( |6|=|2|·|3|\).
Die Gleichung \(|1|=a^2+5b^2\) ist erfüllt, wenn \(a=1\) und \(b=0\) oder \(a=-1\) und \(b=0\).
Die Gleichung \(|6|=a^2+5b^2\) ist erfüllt, wenn \(a=1\) und \(b=1\), \(a=1\) und \(b=-1\), \(a=-1\) und \(b=1\) oder \(a=-1\) und \(b=-1\).
Keine \(a, b ∈ℤ\) erfüllen die Gleichungen \(|2|=a^2+5b^2\) und \(|3|=a^2+5b^2\).
Meine Teiler sind also \(T = \{-1, 1, 1+i√5, 1-i√5, -1+i√5, -1-i√5 \} \)
Stimmt das denn so?
