Frage zum integrieren.....

Question

Kann mir jemand sagen wie ich ein Integral ( sin(x))^2 von 0 bis Pi integriere ??

f(x) = sin(x) * sin(x)

f'(x) = [sin(x) * -cos(x)] - ∫(cos(x) * -cos(x)) dx

Irgendwie komm ich nicht weiter

Answer 1

Du kannst zweimal partiell integrieren. Dazu fahre fort wo Du gerade bist. Du wirst wiederum sin^2(x) erhalten, wo Du dann als Gleichung sehen und umstellen kannst.

Alternativ kannst Du aber auch die Additionstheoreme verwenden:

sin^2(x) = 1/2 - 1/2*cos(2x)

∫(1/2 - 1/2*cos(x)) dx = [x/2 - 1/4*sin(2x)]

Nun Grenzen einsetzen und π/2 erhalten.

Grüße

Answer 2

$$ \int f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = f(x)\cdot g(x) - \int f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x  $$---$$ f'(x) = \sin(x)$$$$ \rightarrow  f(x) = -\cos(x) $$$$g(x)= \sin(x)  $$$$ \rightarrow  g'(x) = \cos(x) $$---

$$ \int \sin(x)\cdot \sin(x)\,\mathrm{d}x = -\cos(x)\cdot \sin(x) - \int -\cos(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm{d}x  $$
$$ \int \sin(x)\cdot \sin(x)\,\mathrm{d}x = -\cos(x)\cdot \sin(x) + \int \cos(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm{d}x  $$
---
Nebenrechnung:
$$ \int \cos(x)\cdot \cos(x)\,\mathrm{d}x = \cdots $$
dann einsetzen und vereinfachen - Vorzeichenfehler vermeiden !