Ich ergänze diese Antwort, um deine konkrete Frage zu beantworten.
Ja, es geht, das Integral ohne Substitution zubestimmen. Es geht auch mit partieller Integration, was aber etwas beschwerlich ist.
Nichtdestotrotz schreib ich dir das mal hier auf, weil es einen sehr nützlichen Trick enthält.
Hier erst einmal der Trick für ein einfacheres Integral, welches wir später benötigen:
$${\color{blue}{\int\frac{\ln x}{x}\,dx}} \stackrel{\stackrel{\text{partielle Integration}}{u=\ln x , v'=\frac 1x}}{=} \ln^2 x {\color{blue}{-\int\frac{\ln x}{x}\,dx}}$$$$ \Rightarrow \int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac 12\ln ^2 x (+C) \quad (1)$$
Auf ähnliche Weise können wir dein Integral ohne Substitution knacken. Um Schreibarbeit zu sparen, benutze ich noch folgende Abkürzung: \(\boxed{L := \ln x}\). Außerdem lass ich den Vorfaktor 2 weg:
$$I := \int (L- 1)^2\cdot \frac 1x\, dx \stackrel{\stackrel{\text{partielle Integration}}{u=(L- 1)^2 , v'=\frac 1x}}{=}L(L-1)^2 - 2 \underbrace{\int \frac{L-1}x\cdot L\, dx}_{I_1:=}$$
Jetzt schreib ich \(\boxed{L=(L-1)+1} \stackrel{\text{Simsallabim!}}{\Rightarrow}\)
$$I_1 = \int \frac{L-1}x\cdot (L-1+1)\, dx = I + \underbrace{\int \frac Lx \, dx}_{\stackrel{(1)}{=}\frac 12 L^2} - \underbrace{\int \frac 1x \, dx}_{= L}$$
Insgesamt erhalten wir also
$$I = L(L-1)^2-2I_1 = L(L-1)^2-2(I+\frac 12 L^2 - L) (+C)$$
Auflösen nach unserem Integral \(I\) und "massieren" der Integrationskonstante ergibt:
$$3I = L(L-1)^2-L^2 + 2L (+ C_0) \stackrel{\text{quadrat. Ergänzung}}{=} L(L-1)^2-(L-1)^2 (+ \underbrace{C}_{C_0+1})$$ Also
$$I = \boxed{\frac 13 (L-1)^3}(+ C)$$
Insgesamt erhalten wir also wie gewünscht ohne Substitution:
$$2\int (L- 1)^2\cdot \frac 1x\, dx = 2I =\boxed{ \frac 23 (\ln x - 1)^3 (+C)}$$
