Integrieren durch Substitution

Question

Aufgabe:

integrieren durch Substitution

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( \int \limits_{0}^{\frac{1}{2}(e-1)} \frac{1}{2 x+1} d x \)

Ich muss diese Funktion integrieren (ohne Taschenrechner!) Ich habe versucht die Substitution anzuwenden. Dabei kam ich dann auf z=2x+1 und dx=1/2*dz. Die Neuen Grenzen habe ich gebildet in dem ich die Ursprungs Grenzen in z eingesetzt habe so bekam ich für b=e und a=1. Nun habe ich versucht die Stamfunktion von 1/z zu bilden. Dabei bekam ich dann ln(z). Die 1/2 habe ich vor dem integral gezogen. Versuche ich nun das alles auszurechnen bekomme ich 1/2* (ln(2*e+1)-ln(2*1+2). Das ergibt ca. 0.73. Allerdings ist die Lösung 0.5. Kann mir jemand erklären wo ich mich berechnet habe bzw. vielleicht einen Schritt falsch ausgeführt habe?

LG

Answer 1

Text erkannt:

\( \int \frac{1}{2 x+1} \cdot d x \)
\( u=2 x+1 \)
\( x=\frac{1}{2} u-\frac{1}{2} \)
\( d x=\frac{1}{2} d u \)
\( \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u=\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot d u=\frac{1}{2} \ln u \)
\( \int \frac{1}{2 x+1} \cdot d x=\frac{1}{2} \ln (2 x+1)+C \)
\( =\frac{1}{2} \cdot \ln [e]-0=\frac{1}{2} \)

Answer 2

Hallo,

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