Ist es möglich dies ohne Substitution zu integrieren?

Question

Aufgabe:

g(x)=(2*(ln(x)-1)²)/x  soll Integriert werden.

Problem/Ansatz:

Ist es möglich dies ohne Substitution zu integrieren?

Answer 1

Aloha :)

Es gibt ein Verfahren, das aber dem Prinzip der Substitution sehr nahe kommt:$$\int2(\ln(x)-1)^2\cdot\pink{\frac1x\,dx}=\int2(\ln(x)-1)^2\,\pink{d(\ln x)}=\frac23(\ln(x)-1)^3+\text{const}$$

Wegen $\frac{d(\ln x)}{dx}=\frac1x$ ist $d(\ln x)=\frac1x\,dx$.

Man integriert dann nicht mehr über $x$, sondern über $\ln(x)$.

Bei der Substituitonsmethode würde man $x=e^u$ bzw. $u=\ln(x)$ substituieren und dann das Integral auf die neue Variable $u$ transformieren.

Comments

Danke, weißt du ob so etwas auch in der Schule gelehrt wird?

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In Deutschland (Kreisklasse C) wird das sicher nicht gelehrt.

In China und Indien (Champions League) wird das unterrichtet. Ich habe mir die Methode während meiner Doktorarbeit von einem indischen Mitdoktoranden abgeschaut.

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ch habe mir die Methode während meiner Doktorarbeit von einem indischen Mitdoktoranden abgeschaut.

Worüber hast du promoviert, wenn die Frage erlaubt ist?

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Ich habe Physik und Informatik studiert. Promoviert habe ich aber nur in Physik über funktionale Kernspin-Tomographie. Ich habe Methoden entwickelt, wie man neuronale Aktivierung im Gehin in Echtzeit beobachten kann. Ein Proband im Kernspin-Tomographen hebt z.B. seinen Finger und man kann ein paar Sekunden später auf dem Bildschirm sehen, welche Hirnregionen dabei aktiv waren. Da konnte ich Physik und Informatik miteinander verbinden, hat super viel Spaß gemacht damals.

Answer 2

Hallo

ja man kann einfach sehen dass es etwa die Ableitung von (ln(x)-1)³ ist bis auf einen Faktor

lul

Answer 3

Ich ergänze diese Antwort, um deine konkrete Frage zu beantworten.

Ja, es geht, das Integral ohne Substitution zubestimmen. Es geht auch mit partieller Integration, was aber etwas beschwerlich ist.

Nichtdestotrotz schreib ich dir das mal hier auf, weil es einen sehr nützlichen Trick enthält.

Hier erst einmal der Trick für ein einfacheres Integral, welches wir später benötigen:

$${\color{blue}{\int\frac{\ln x}{x}\,dx}} \stackrel{\stackrel{\text{partielle Integration}}{u=\ln x , v'=\frac 1x}}{=} \ln^2 x {\color{blue}{-\int\frac{\ln x}{x}\,dx}}$$$$\Rightarrow \int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac 12\ln ^2 x (+C) \quad (1)$$

Auf ähnliche Weise können wir dein Integral ohne Substitution knacken. Um Schreibarbeit zu sparen, benutze ich noch folgende Abkürzung: $\boxed{L := \ln x}$. Außerdem lass ich den Vorfaktor 2 weg:

$$I := \int (L- 1)^2\cdot \frac 1x\, dx \stackrel{\stackrel{\text{partielle Integration}}{u=(L- 1)^2 , v'=\frac 1x}}{=}L(L-1)^2 - 2 \underbrace{\int \frac{L-1}x\cdot L\, dx}_{I_1:=}$$

Jetzt schreib ich $\boxed{L=(L-1)+1} \stackrel{\text{Simsallabim!}}{\Rightarrow}$

$$I_1 = \int \frac{L-1}x\cdot (L-1+1)\, dx = I + \underbrace{\int \frac Lx \, dx}_{\stackrel{(1)}{=}\frac 12 L^2} - \underbrace{\int \frac 1x \, dx}_{= L}$$

Insgesamt erhalten wir also

$$I = L(L-1)^2-2I_1 = L(L-1)^2-2(I+\frac 12 L^2 - L) (+C)$$

Auflösen nach unserem Integral $I$ und "massieren" der Integrationskonstante ergibt:

$$3I = L(L-1)^2-L^2 + 2L (+ C_0) \stackrel{\text{quadrat. Ergänzung}}{=} L(L-1)^2-(L-1)^2 (+ \underbrace{C}_{C_0+1})$$ Also

$$I = \boxed{\frac 13 (L-1)^3}(+ C)$$

Insgesamt erhalten wir also wie gewünscht ohne Substitution:

$$2\int (L- 1)^2\cdot \frac 1x\, dx = 2I =\boxed{ \frac 23 (\ln x - 1)^3 (+C)}$$