Ermitteln Sie die Gleichung dieser Funktion. (Rekursion von Funktionen)

Question

Aufgabe:

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades besitzt den Tiefpunkt \( T(6 \mid-2) \) und an der Stelle 4 eine Wendetangente \( \mathrm{w} \), die parallel zu der Geraden g mit \( \mathrm{g}(\mathrm{x})=-3 \mathrm{x} \) verläuft.

a) Ermitteln Sie die Gleichung dieser Funktion.

[zum Vergleich: \( \left.f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-3 x^{2}+9 x-2\right] \)

b) Im Schnittpunkt mit der \( \mathrm{y} \) - Achse berührt die Tangente t das Schaubild. Welchen Winkel schließen die Wendetangente \( \mathrm{w} \) und die Tangente t miteinander ein?

Answer 1

Ansatz f(x) = ax^3 + bx^2 + cx +d

f(6) = -2

f ' (6) = 0   Tiefpunkt

f ' ' (4) = 0 wegen "wende...."

f ' (4 ) = -3   (Steigung der Wendetang)

Gleichungssystem lösen gibt die gegebene Funktion.

Steigung der Wendetang = -3 also Winkel mit der pos. x-Achse arctan(-3) = -71,6°

Tangente bei S(0/-2) hat die Steigung f ' (0) = 9  also

Winkel mit der pos. x-Achse   arctan(9) = 83,7°

Der Wunkel zwischen den Tangenten ist also    83,7°  - (  -71,6°) = 155,2°.

Meistens nimmt man wohl den spitzen Winkel also 24.8°.