Der Punkt F teilt die Seitenkante BE im Verhältnis 4: 1. Berechne das Volumen der Pyramide.

Question

Aufgabe:

Von der abgebildeten quadratischen Pyramide sind die Strecken \( \overline{\mathrm{AF}}=7,2 \mathrm{~cm} \) und \( \overline{B F}=2,4 \mathrm{~cm} \) bekannt.

Der Punkt \( \mathrm{F} \) teilt die Seitenkante \( \overline{\mathrm{BE}} \) im Verhältnis \( 4: 1 \).

Berechne das Volumen der Pyramide.

Answer 1

Pythagoras:
AB^2 = FB^2 + AF^2 also AB = 7,5895 (ungefähr)
Also hat das Quadrat den Flächeninhalt 57,6 cm^2.

BE kannst du leicht berechnen, denn wenn der Punkt die Strecke 4:1 teilt, ist das große
Stück 4 mal so lang wie das kleine, also die gesamte Strecke BE = 5*2,4 = 12cm.

Jetzt denke dir mal die Pyramidenhöhe h von E senkrecht runter auf die Mitte M des Quadrates
dann ist die Linie MB die halbe Diagonale des Quadrates, also die Hälfte von 7,5895*wurzel(2)
und das gibt ca 5,3666 cm

Das Dreieck MBE hat bei M einen rechten Winkel, da die Höhe senkrecht auf dem Boden steht
und du kennst MB = 5,3666 cm und BE = 12cm
also wieder Pythagoras h^2 + 5,3666^2 = 12^2
gibt h = 10,73 cm

Also ist das Volumen = Quadratfläche * h / 3
            = 57,6 cm^2 * 10,73 cm / 3 = 206,08 cm^3