Funktionsschar: Schnittpunkt

Question

Durch fκ (x) = x²+kx-x (k∈ℝ) ist eine Funktionsschar gegeben. 

Berechne die Schnittpunkte von Cκ mit der x-Achse. Für welche Werte von k sind 2 (1;0) Schnittpunkte vorhanden? 

Ich komme leider nicht weit mit dieser Aufgabe. 

Ich habe an die pQ-Formel gedacht und :

x: -k/2 ± √(k/2)² - k 

aber ab diesem punkt komm ich leider nicht mehr weiter. Ich würde mich über eine ausführliche Antwort freuen, da ich das auch verstehen möchte.

 

Answer 1

fκ (x) = x²+kx-x

Nullstellen:    y=0

x²+kx-x=0

x²+(k-1)x=0

x(x+k-1)=0

x=0      und x=1-k

Da k∈R müsste man eigentlich noch eine Fallunterscheidung machen, aber ich denke das ist hier nicht verlangt von euch.

Ich rechne mit der abc-Formel.

Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist die Diskriminante:

D=b²-4ac

D=(k-1)²-4*1*0

D=(k-1)²

1. Fall: D=0   Genau eine Nullstelle:

Sieht man sofort, dass das für k=1 sein muss.

2. Fall: D>0    Zwei Nullstellen

Gilt für k∈ℝ/(1)   Also für alle k, außer 1.

3. Fall: D<0    Keine Nullstelle.

Das ist nicht möglich, da eine Zahl zum Quadrat immer positiv wird.

Bei Frage einfach einen Kommentar hinterlassen! :)

LG

Comments

Diskriminate hatten wir noch nie im Unterricht. Gibt es auch einen anderen Weg ? 

Answer 2

Hi, die Verwendung von Lösungsformen ist hier gar nicht nötig, denn wegen
$$ f_k(x) = x^2+kx-x = x\cdot\left(x-\left(1-k\right)\right) $$besitzen alle Funktionen \(f_k\) die Nullstellen \(x=0\) und \(x=1-k\). Für den Fall \(k=1\) fallen sie zu einer einzigen Doppelnullstelle zusammen, in allen anderen Fällen gibt es zwei einfache Nullstellen.

Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse wären also \((0|0)\) und, falls \(k\ne1\) ist, auch \(((1-k)|0)\).