pq-Formel bei einer Funktionsschar

Question

Wie kann ich „zu Fuß“ die pq-Formel anhand dieses Beispiels ausrechnen?

f(x)=x^2+ax-3

Ich weiß, dass p=a ist und q=-3.

Eingesetzt müsste das so stimmen:

x1/2= -a/2 +- Wurzel aus (a/2)^2+3

Wie rechne ich nun weiter?

Gibt es allgemeine Regeln/Merksätze, die ich bei Funktionen mit zusätzlichem a berücksichtigen muss?

Answer 1

$$f(x)=x^2+ax-3$$$$x_{1,2}=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+3}$$$$x_{1,2}=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4}+3}$$$$x_{1,2}=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^2+12}{4}}$$$$x_{1,2}=-\frac{a}{2}\pm\frac{\sqrt{a^2+12}}{2}$$ Nun noch Faktorisieren:$$x_{1,2}=-\frac{1}{2}\left(a\pm\sqrt{a^2+12}\right)$$

Comments

Warum wird aus der 3 eine 12?

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$$\sqrt{\frac{a^2}{4}+3}$$ Du kannst nun 3 auch als Bruch schreiben:$$\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{3}{1}}$$ Dann musst du beide auf einen Nenner bringen also mit *4:$$\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{12}{4}}$$ Dann kannst du die Terme kombinieren:$$\sqrt{\frac{a^2+12}{4}}$$

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Ach ja, stimmt, da habe ich nicht mitgedacht.

Ich habe nun noch eine Frage und zwar: warum steht dann im Nenner eine 2? Das Kürzen müsste doch eigentlich auch den Zähler betreffen, oder?

Warum verschwindet die 2 danach?

Warum wird aus -a/2

-1/2 (a...)?

Und wie verhält sich das, wenn p dort z. B. 3a^2 wäre? Stünde das dann dort auch verändert?

Wenn Du mir das noch erklären würdest, wäre ich Dir echt sehr dankbar. Dann hätte ich für die Klausur ein Schema zum dran entlang Arbeiten, das gibt mir viel Sicherheit. :)

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Ich habe nun noch eine Frage und zwar: warum steht dann im Nenner eine 2? Das Kürzen müsste doch eigentlich auch den Zähler betreffen, oder?

Meinst du vielleich folgendes Wurzelgesetz:$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Warum wird aus -a/2  = -1/2 (a...)?

$$\frac{a}{b}=\frac{1}{b}\cdot a$$ Guck dir am besten nochmal Bruchregel, Potenzgesetze und Bruchregeln an.

Answer 2

Es gilt die all. Formel, siehe hier:

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/pq-formel-quadratische-gleichungen-mathematik.html

für a≠ 0

x_1.2= -a/2 ±√ (a^2/4 +3)

x_1.2= -a/2 ±√ ((a^2 +12)/4)

Jetzt kannst Du noch etwas Kosmetik machen.

Answer 3

Du hast damit die Nullstellen berechnet in Abhängigkeit von a.

Wie lautet die Aufgabe im Original? Was ist gesucht?