Grenzwert Reihe berechnen für ({n}/{n+3})^{n-1}

Question

Ich soll den Grenzwert der folgenden Reihe berechnen:

\( \left(\frac{n}{n+3}\right)^{n-1}=\left(\frac{n+(n+3)-(n+3)}{n+3}\right)^{n-1}=\left(1+\frac{-3}{n+3}\right)^{n-1}=\left(1+\frac{-3}{n+3}\right)^{n-1}=\left(1+\frac{-3}{n+3}\right)^{n} *\left(1+\frac{-3}{n+3}\right)^{-1} \)

\( =e^{-3} * \frac{1}{\frac{n}{n+3}}=e^{-3} * \frac{n+3}{n}=e^{-3} * \frac{n\left(1+\frac{3}{n}\right)}{n(1)}=e^{-3} * 1=e^{-3} \)

Also bringe ich das auf die bekannte Form:  (1+ (z/n))ⁿ  = e^z und nutze 1/n = 0 (bei lim n gegen unendlich)

Abgesehen, dass das formell nicht schön ist, kann man das so machen bzw. ist der Rechenweg richtig?

Comments

Die Notation ist zwar murks allerdings kann man deinen Lösungsweg nachvollziehen.

Es handelt sich aber um eine Folge und nicht um eine Reihe. Außerdem verwendest du noch:

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n+3} \right)^n = e^3 $$

Dies ist zwar richtig, allerdings musst du natürlich selbst wissen, ob ihr das benutzen dürft oder nicht.

Answer 1

Hi Jannis,

Du solltest das nicht so splitten, dass Du nur den Exponenten n hast, sondern n+3. Dann hast Du rechts halt -4 als Exponenten und nicht -1, sonst ändert sich aber nichts ;). Aber die "bekannte Form" ist dann sauber umgesetzt^^.

Grüße